CONTENTS ix
3.4.4. Riemann’s problem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
3.4.5. Long time behavior
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
3.5. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
3.6. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
4. Other Ways to Represent Solutions
. . . . . . . . . . . . . .
167
4.1. Separation of variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
4.1.1. Examples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
4.1.2. Application: Turing instability
. . . . . . . . . . . . .
172
4.2. Similarity solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
4.2.1. Plane and traveling waves, solitons
. . . . . . . . . .
176
4.2.2. Similarity under scaling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
4.3. Transform methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.3.1. Fourier transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.3.2. Radon transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
4.3.3. Laplace transform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
4.4. Converting nonlinear into linear PDE
. . . . . . . . . . . .
206
4.4.1. Cole–Hopf transformation
. . . . . . . . . . . . . . . . .
206
4.4.2. Potential functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
4.4.3. Hodograph and Legendre transforms
. . . . . . . . .
209
4.5. Asymptotics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
4.5.1. Singular perturbations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
4.5.2. Laplace’s method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
4.5.3. Geometric optics, stationary phase
. . . . . . . . . .
219
4.5.4. Homogenization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
4.6. Power series
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
4.6.1. Noncharacteristic surfaces
. . . . . . . . . . . . . . . . .
233
4.6.2. Real analytic functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
4.6.3. Cauchy–Kovalevskaya Theorem
. . . . . . . . . . . . .
240
4.7. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
4.8. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
PART II: THEORY FOR LINEAR PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS
5. Sobolev Spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
5.1. older spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
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