x CONTENTS
5.2. Sobolev spaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
5.2.1. Weak derivatives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
5.2.2. Definition of Sobolev spaces
. . . . . . . . . . . . . . .
260
5.2.3. Elementary properties
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
5.3. Approximation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
5.3.1. Interior approximation by smooth functions
. . .
266
5.3.2. Approximation by smooth functions
. . . . . . . . .
267
5.3.3. Global approximation by smooth functions
. . . .
268
5.4. Extensions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
5.5. Traces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
5.6. Sobolev inequalities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
5.6.1. Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality
. . . . . .
278
5.6.2. Morrey’s inequality
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
5.6.3. General Sobolev inequalities
. . . . . . . . . . . . . . .
286
5.7. Compactness
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
5.8. Additional topics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
5.8.1. Poincar´ e’s inequalities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
5.8.2. Difference quotients
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
5.8.3. Differentiability a.e.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
5.8.4. Hardy’s inequality
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
5.8.5. Fourier transform methods
. . . . . . . . . . . . . . . .
299
5.9. Other spaces of functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
5.9.1. The space
H−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
5.9.2. Spaces involving time
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
5.10. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
5.11. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
6. Second-Order Elliptic Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . .
313
6.1. Definitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
6.1.1. Elliptic equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
6.1.2. Weak solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
6.2. Existence of weak solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
6.2.1. Lax–Milgram Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
6.2.2. Energy estimates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
6.2.3. Fredholm alternative
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
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