CONTENTS xi
6.3. Regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
6.3.1. Interior regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
6.3.2. Boundary regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336
6.4. Maximum principles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
6.4.1. Weak maximum principle
. . . . . . . . . . . . . . . . .
346
6.4.2. Strong maximum principle
. . . . . . . . . . . . . . . . .
349
6.4.3. Harnack’s inequality
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
6.5. Eigenvalues and eigenfunctions
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
356
6.5.1. Eigenvalues of symmetric elliptic operators
. . . .
356
6.5.2. Eigenvalues of nonsymmetric elliptic operators
.
362
6.6. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
367
6.7. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
7. Linear Evolution Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
7.1. Second-order parabolic equations
. . . . . . . . . . . . . . . .
373
7.1.1. Definitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
7.1.2. Existence of weak solutions
. . . . . . . . . . . . . . . .
377
7.1.3. Regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382
7.1.4. Maximum principles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
7.2. Second-order hyperbolic equations
. . . . . . . . . . . . . . .
400
7.2.1. Definitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400
7.2.2. Existence of weak solutions
. . . . . . . . . . . . . . . .
403
7.2.3. Regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410
7.2.4. Propagation of disturbances
. . . . . . . . . . . . . . .
416
7.2.5. Equations in two variables
. . . . . . . . . . . . . . . . .
420
7.3. Systems of hyperbolic first-order equations
. . . . . . . .
423
7.3.1. Definitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
423
7.3.2. Symmetric hyperbolic systems
. . . . . . . . . . . . . .
425
7.3.3. Systems with constant coefficients
. . . . . . . . . . .
431
7.4. Semigroup theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435
7.4.1. Definitions, elementary properties
. . . . . . . . . . .
436
7.4.2. Generating contraction semigroups
. . . . . . . . . .
441
7.4.3. Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443
7.5. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448
7.6. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
451
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