xii CONTENTS
PART III: THEORY FOR NONLINEAR PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS
8. The Calculus of Variations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
455
8.1. Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
455
8.1.1. Basic ideas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
455
8.1.2. First variation, Euler–Lagrange equation
. . . . .
456
8.1.3. Second variation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
460
8.1.4. Systems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461
8.2. Existence of minimizers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
467
8.2.1. Coercivity, lower semicontinuity
. . . . . . . . . . . .
467
8.2.2. Convexity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
469
8.2.3. Weak solutions of Euler–Lagrange equation
. . .
474
8.2.4. Systems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
477
8.2.5. Local minimizers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
482
8.3. Regularity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
484
8.3.1. Second derivative estimates
. . . . . . . . . . . . . . . .
485
8.3.2. Remarks on higher regularity
. . . . . . . . . . . . . .
488
8.4. Constraints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
490
8.4.1. Nonlinear eigenvalue problems
. . . . . . . . . . . . . .
490
8.4.2. Unilateral constraints, variational inequalities
.
494
8.4.3. Harmonic maps
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
497
8.4.4. Incompressibility
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
499
8.5. Critical points
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
503
8.5.1. Mountain Pass Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
503
8.5.2. Application to semilinear elliptic PDE
. . . . . . .
509
8.6. Invariance, Noether’s Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
513
8.6.1. Invariant variational problems
. . . . . . . . . . . . . .
514
8.6.2. Noether’s Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515
8.7. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522
8.8. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
527
9. Nonvariational Techniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
9.1. Monotonicity methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
9.2. Fixed point methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
535
9.2.1. Banach’s Fixed Point Theorem
. . . . . . . . . . . . .
536
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