CONTENTS xiii
9.2.2. Schauder’s, Schaefer’s Fixed Point Theorems
. .
540
9.3. Method of subsolutions and supersolutions
. . . . . . . .
545
9.4. Nonexistence of solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549
9.4.1. Blow-up
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549
9.4.2. Derrick–Pohozaev identity
. . . . . . . . . . . . . . . . .
553
9.5. Geometric properties of solutions
. . . . . . . . . . . . . . . .
556
9.5.1. Star-shaped level sets
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
556
9.5.2. Radial symmetry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557
9.6. Gradient flows
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
562
9.6.1. Convex functions on Hilbert spaces
. . . . . . . . . .
562
9.6.2. Subdifferentials and nonlinear semigroups
. . . .
567
9.6.3. Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573
9.7. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
575
9.8. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
579
10. Hamilton–Jacobi Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
581
10.1. Introduction, viscosity solutions
. . . . . . . . . . . . . . . .
581
10.1.1. Definitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
583
10.1.2. Consistency
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585
10.2. Uniqueness
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
588
10.3. Control theory, dynamic programming
. . . . . . . . . . .
592
10.3.1. Introduction to optimal control theory
. . . . . .
593
10.3.2. Dynamic programming
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
594
10.3.3. Hamilton–Jacobi–Bellman equation
. . . . . . . . .
596
10.3.4. Hopf–Lax formula revisited
. . . . . . . . . . . . . . .
602
10.4. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
605
10.5. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
608
11. Systems of Conservation Laws
. . . . . . . . . . . . . . . . .
611
11.1. Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
611
11.1.1. Integral solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
614
11.1.2. Traveling waves, hyperbolic systems
. . . . . . . .
616
11.2. Riemann’s problem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623
11.2.1. Simple waves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
623
11.2.2. Rarefaction waves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
626
11.2.3. Shock waves, contact discontinuities
. . . . . . . .
627
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