xiv CONTENTS
11.2.4. Local solution of Riemann’s problem
. . . . . . . .
634
11.3. Systems of two conservation laws
. . . . . . . . . . . . . . .
637
11.3.1. Riemann invariants
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
637
11.3.2. Nonexistence of smooth solutions
. . . . . . . . . .
641
11.4. Entropy criteria
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
643
11.4.1. Vanishing viscosity, traveling waves
. . . . . . . . .
644
11.4.2. Entropy/entropy-flux pairs
. . . . . . . . . . . . . . .
648
11.4.3. Uniqueness for scalar conservation laws
. . . . .
651
11.5. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
656
11.6. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
659
12. Nonlinear Wave Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
661
12.1. Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
661
12.1.1. Conservation of energy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
662
12.1.2. Finite propagation speed
. . . . . . . . . . . . . . . . .
662
12.2. Existence of solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
665
12.2.1. Lipschitz nonlinearities
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
665
12.2.2. Short time existence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
668
12.3. Semilinear wave equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
672
12.3.1. Sign conditions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
672
12.3.2. Three space dimensions
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
676
12.3.3. Subcritical power nonlinearities
. . . . . . . . . . . .
678
12.4. Critical power nonlinearity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
681
12.5. Nonexistence of solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
688
12.5.1. Nonexistence for negative energy
. . . . . . . . . . .
689
12.5.2. Nonexistence for small initial data
. . . . . . . . .
691
12.6. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
693
12.7. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
698
APPENDICES
Appendix A: Notation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
699
A.1. Notation for matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
699
A.2. Geometric notation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
700
A.3. Notation for functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
701
A.4. Vector-valued functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
705
A.5. Notation for estimates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
706
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