ON THE FOURTH MOMENT OF THETA FUNCTIONS AT THEIR CENTRAL POINT 5
Lemma 9. It holds that Mc(d, δ, x) = (2
log2
c)
x
dδ2
+ O(

x
δ
) + O(
x
d2δ2
).
Proof. In the range D1
c

x

we have
dD1
c2D2
x
dδ2D1D2
.
Hence, (4) and (5) are equivalent to
(6)
dD1
c2D2
k
c2dD2
D1
if D2

x
cdδ
x
dδ2D1D2
otherwise.
In setting
X =

x
cdδ
,
we obtain that Nc(d, δ, D1, D2, x) is the number of k’s such that
(7)
dD1
c2D2
k
c2dD2
D1
if D2 X
c2dX2
D1D2
otherwise.
Therefore, we have:
Mc(d, δ, x) =
D1c2X D1/c2≤D2D1
Nc(d, δ, D1, D2, x)
=
D1X
D1/c2≤D2D1
c2dD2
D1

dD1
c2D2
+ O(1)
+
X≤D1c2X



D1/c2≤D2≤X
c2dD2
D1

dD1
c2D2
+ O(1)
+
X≤D2D1
c2dX2
D1D2

dD1
c2D2
+ O(1)



=
c2d
D1X D1/c2≤D2D1
D2
D1
+
c2d
X≤D1c2X D1/c2≤D2≤X
D2
D1

d
c2
D1c2X D1/c2≤D2D1
D1
D2
+c2dX2
X≤D1c2X X≤D2D1
1
D1D2
+O(X2)
=
c2d
2
D1X
(1
1
c4
)
(
D1 + O(1)
)
+
c2d
2
X≤D1c2X
(
X2
D1

1
c4
D1 + O(1)
)

d
c2
D1c2X
(
D1
log(c2)
+ O(1)
)
+c2dX2
X≤D1c2X
(
log(D1/X)
D1
+ O(
1
D1X
)
)
+O(X2)
5
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