Special Notation |X| cardinal number of set X C complex numbers N natural numbers Q rational numbers R real numbers Z integers 1X identity function on set X A transpose of matrix A SX , Sn symmetric groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 sgn signum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 GL(n, k), GL(V ) general linear group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 146 D2n dihedral group of order 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 V four-group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 An alternating group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 a cyclic subgroup with generator a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Im integers mod m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 φ(n) Euler φ-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 X subgroup generated by subset X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 H K smallest subgroup containing subgroups H and K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 [G : H] index of subgroup H in group G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 U(Im) {[a] Im : (a, m) = 1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 SL special linear group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 K G K normal subgroup of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Z(G) center of group G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Aut(G), Inn(G) automorphism group, inner automorphism group . . . . . . . . . . . 43 Q quaternion group of order 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 H × K direct product of groups H and K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 xiii
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