xiv Special Notation O(x) orbit of x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Gx stabilizer of x under action of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 xG conjugacy class of x in G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 CG(x) centralizer in G of element x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 NG(H), CG(H) normalizer in G, centralizer in G of subgroup H . . . . . . . . . . . 66 Matn(R) n × n matrices with entries in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 δij Kronecker delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Z[i] Gaussian integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 F(R) ring of all functions R R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 U(R) group of units in ring R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 nonzero elements in ring R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Frac(R) fraction field of domain R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 R[x], R[[x]] polynomial ring, formal power series ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A algebraic integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Φd(x) cyclotomic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Homk(V, W ) k-linear transformations V W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Y [T ]X matrix of linear transformation T relative to bases X and Y . . . . . . . . 149 V dual space of vector space V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 [K : k] degree of extension field K/k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 k(α) extension field of k from adjoining α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 irr(α, k) minimal polynomial of α over field k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Fq finite field with q elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Gal(E/k) Galois group of extension field E/k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, 521 Fr Frobenius map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 EH fixed subfield of E under action of H Aut(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 S T , n i=1 Si direct sum of abelian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224, 225 rank(F ) rank of free abelian group F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 d(G) = dim(G/pG) invariant of abelian p-group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Up(n, G) finer invariant of abelian group G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 tG torsion subgroup of abelian group G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 G[m] = {x G : mx = 0} G an abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 UT(n, k) unitriangular group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 [x, y] = xyx−1y−1 commutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 G commutator subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 G(i) ith term of derived series of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 PSL projective unimodular group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265, 269 Qn generalized quaternion group of order 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
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