CONTENTS ix 3.4.4. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.4.5. Long time behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4. Other Ways to Represent Solutions . . . . . . . . . . . . . . 167 4.1. Separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.1.1. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.1.2. Application: Turing instability . . . . . . . . . . . . . 172 4.2. Similarity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2.1. Plane and traveling waves, solitons . . . . . . . . . . 176 4.2.2. Similarity under scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.3. Transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3.1. Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3.2. Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.3.3. Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.4. Converting nonlinear into linear PDE . . . . . . . . . . . . 206 4.4.1. Cole–Hopf transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.4.2. Potential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.4.3. Hodograph and Legendre transforms . . . . . . . . . 209 4.5. Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.5.1. Singular perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.5.2. Laplace’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 4.5.3. Geometric optics, stationary phase . . . . . . . . . . 219 4.5.4. Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 4.6. Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.6.1. Noncharacteristic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.6.2. Real analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 4.6.3. Cauchy–Kovalevskaya Theorem . . . . . . . . . . . . . 240 4.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 PART II: THEORY FOR LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 5. Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.1. older spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Previous Page Next Page