x CONTENTS 5.2. Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.2.1. Weak derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.2.2. Definition of Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . 260 5.2.3. Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 5.3. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 5.3.1. Interior approximation by smooth functions . . . 266 5.3.2. Approximation by smooth functions . . . . . . . . . 267 5.3.3. Global approximation by smooth functions . . . . 268 5.4. Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 5.5. Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 5.6. Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.6.1. Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality . . . . . . 278 5.6.2. Morrey’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 5.6.3. General Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . 286 5.7. Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.8. Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.8.1. Poincar´ e’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.8.2. Difference quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 5.8.3. Differentiability a.e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 5.8.4. Hardy’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 5.8.5. Fourier transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5.9. Other spaces of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 5.9.1. The space H−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 5.9.2. Spaces involving time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 5.10. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 5.11. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6. Second-Order Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.1.1. Elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.1.2. Weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 6.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 6.2.1. Lax–Milgram Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 6.2.2. Energy estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.2.3. Fredholm alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
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