CONTENTS xi 6.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 6.3.1. Interior regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 6.3.2. Boundary regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 6.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 6.4.1. Weak maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 6.4.2. Strong maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 6.4.3. Harnack’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 6.5. Eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 6.5.1. Eigenvalues of symmetric elliptic operators . . . . 356 6.5.2. Eigenvalues of nonsymmetric elliptic operators . 362 6.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 6.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 7. Linear Evolution Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 7.1. Second-order parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . 373 7.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 7.1.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 377 7.1.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 7.1.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 7.2. Second-order hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . 400 7.2.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 7.2.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 403 7.2.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 7.2.4. Propagation of disturbances . . . . . . . . . . . . . . . 416 7.2.5. Equations in two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 7.3. Systems of hyperbolic first-order equations . . . . . . . . 423 7.3.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 7.3.2. Symmetric hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . 425 7.3.3. Systems with constant coefficients . . . . . . . . . . . 431 7.4. Semigroup theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 7.4.1. Definitions, elementary properties . . . . . . . . . . . 436 7.4.2. Generating contraction semigroups . . . . . . . . . . 441 7.4.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 7.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 7.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
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