xii CONTENTS PART III: THEORY FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 8. The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8.1.1. Basic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8.1.2. First variation, Euler–Lagrange equation . . . . . 456 8.1.3. Second variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 8.1.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 8.2. Existence of minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.2.1. Coercivity, lower semicontinuity . . . . . . . . . . . . 467 8.2.2. Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.2.3. Weak solutions of Euler–Lagrange equation . . . 474 8.2.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 8.2.5. Local minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 8.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.3.1. Second derivative estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.3.2. Remarks on higher regularity . . . . . . . . . . . . . . 488 8.4. Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 8.4.1. Nonlinear eigenvalue problems . . . . . . . . . . . . . . 490 8.4.2. Unilateral constraints, variational inequalities . 494 8.4.3. Harmonic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.4.4. Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.5. Critical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.5.1. Mountain Pass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.5.2. Application to semilinear elliptic PDE . . . . . . . 509 8.6. Invariance, Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.6.1. Invariant variational problems . . . . . . . . . . . . . . 514 8.6.2. Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 8.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 8.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 9. Nonvariational Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 9.1. Monotonicity methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 9.2. Fixed point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 9.2.1. Banach’s Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . 536
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