CONTENTS xiii 9.2.2. Schauder’s, Schaefer’s Fixed Point Theorems . . 540 9.3. Method of subsolutions and supersolutions . . . . . . . . 545 9.4. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 9.4.1. Blow-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 9.4.2. Derrick–Pohozaev identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 9.5. Geometric properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.5.1. Star-shaped level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.5.2. Radial symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 9.6. Gradient flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 9.6.1. Convex functions on Hilbert spaces . . . . . . . . . . 562 9.6.2. Subdifferentials and nonlinear semigroups . . . . 567 9.6.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 9.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 9.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 10. Hamilton–Jacobi Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.1. Introduction, viscosity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.1.2. Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 10.2. Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 10.3. Control theory, dynamic programming . . . . . . . . . . . 592 10.3.1. Introduction to optimal control theory . . . . . . 593 10.3.2. Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 10.3.3. Hamilton–Jacobi–Bellman equation . . . . . . . . . 596 10.3.4. Hopf–Lax formula revisited . . . . . . . . . . . . . . . 602 10.4. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 10.5. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 11. Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 11.1.1. Integral solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 11.1.2. Traveling waves, hyperbolic systems . . . . . . . . 616 11.2. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 11.2.1. Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 11.2.2. Rarefaction waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 11.2.3. Shock waves, contact discontinuities . . . . . . . . 627
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