xiv CONTENTS 11.2.4. Local solution of Riemann’s problem . . . . . . . . 634 11.3. Systems of two conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 637 11.3.1. Riemann invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 11.3.2. Nonexistence of smooth solutions . . . . . . . . . . 641 11.4. Entropy criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 11.4.1. Vanishing viscosity, traveling waves . . . . . . . . . 644 11.4.2. Entropy/entropy-flux pairs . . . . . . . . . . . . . . . 648 11.4.3. Uniqueness for scalar conservation laws . . . . . 651 11.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 11.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 12. Nonlinear Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 12.1.1. Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 12.1.2. Finite propagation speed . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 12.2. Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 12.2.1. Lipschitz nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 12.2.2. Short time existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 12.3. Semilinear wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 12.3.1. Sign conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 12.3.2. Three space dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 12.3.3. Subcritical power nonlinearities . . . . . . . . . . . . 678 12.4. Critical power nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 12.5. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688 12.5.1. Nonexistence for negative energy . . . . . . . . . . . 689 12.5.2. Nonexistence for small initial data . . . . . . . . . 691 12.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 12.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 APPENDICES Appendix A: Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 A.1. Notation for matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 A.2. Geometric notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 A.3. Notation for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 A.4. Vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 A.5. Notation for estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
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