CONTENTS xv A.6. Some comments about notation . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Appendix B: Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 B.1. Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 B.2. Useful inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 Appendix C: Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 C.1. Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 C.2. Gauss–Green Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 C.3. Polar coordinates, coarea formula . . . . . . . . . . . . . . . 715 C.4. Moving regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 C.5. Convolution and smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 C.6. Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 C.7. Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 C.8. Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 Appendix D: Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 D.1. Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 D.2. Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 D.3. Bounded linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 D.4. Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 D.5. Compact operators, Fredholm theory . . . . . . . . . . . . 727 D.6. Symmetric operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 Appendix E: Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 E.1. Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 E.2. Measurable functions and integration . . . . . . . . . . . . 734 E.3. Convergence theorems for integrals . . . . . . . . . . . . . . 735 E.4. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 E.5. Banach space-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
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