viii CONTENTS
2.2.1. Fundamental solution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.2. Mean-value formulas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.3. Properties of harmonic functions
. . . . . . . . . . . . .
26
2.2.4. Green’s function
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.5. Energy methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3. Heat equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3.1. Fundamental solution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.2. Mean-value formula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3.3. Properties of solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3.4. Energy methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.4. Wave equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.4.1. Solution by spherical means
. . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.4.2. Nonhomogeneous problem
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.4.3. Energy methods
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.5. Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.6. References
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3. Nonlinear First-Order PDE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.1. Complete integrals, envelopes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.1.1. Complete integrals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.1.2. New solutions from envelopes
. . . . . . . . . . . . . . .
94
3.2. Characteristics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.2.1. Derivation of characteristic ODE
. . . . . . . . . . . . .
96
3.2.2. Examples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.2.3. Boundary conditions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
3.2.4. Local solution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
3.2.5. Applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.3. Introduction to Hamilton–Jacobi equations
. . . . . . . .
114
3.3.1. Calculus of variations, Hamilton’s ODE
. . . . . .
115
3.3.2. Legendre transform, Hopf–Lax formula
. . . . . . .
120
3.3.3. Weak solutions, uniqueness
. . . . . . . . . . . . . . . .
128
3.4. Introduction to conservation laws
. . . . . . . . . . . . . . .
135
3.4.1. Shocks, entropy condition
. . . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.4.2. Lax–Oleinik formula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
3.4.3. Weak solutions, uniqueness
. . . . . . . . . . . . . . . .
148
