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viii CONTENTS 2.2.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Mean-value formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3. Properties of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.4. Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.5. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2. Mean-value formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.3. Properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.4. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4. Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.1. Solution by spherical means . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.3. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3. Nonlinear First-Order PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1. Complete integrals, envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.1. Complete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.2. New solutions from envelopes . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.1. Derivation of characteristic ODE . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.3. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.4. Local solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3. Introduction to Hamilton–Jacobi equations . . . . . . . . 114 3.3.1. Calculus of variations, Hamilton’s ODE . . . . . . 115 3.3.2. Legendre transform, Hopf–Lax formula . . . . . . . 120 3.3.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.4. Introduction to conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.4.1. Shocks, entropy condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.4.2. Lax–Oleinik formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.4.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 148