Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Setting the Stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Popular Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Dense, Straight, Superstraight, and Simple Lacings . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 One-Column Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 The Number of One-Column n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 The Shortest One-Column n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 The Longest One-Column n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Straight n-Lacings and One-Column n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Counting Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 The Number of n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 The Shortest Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1 Statement of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 The Shortest General and Dense n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 The Shortest Straight n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 The Shortest Dense-and-Straight n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Comparing the Lengths of Some Popular n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Variations on the Shortest Lacing Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1 Linear Shoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Framed Shoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 General Shoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Open Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Multi-Loop Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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