vi Contents
6 The Longest Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1 Summary of Results and Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 The Longest Simple n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 The Longest Dense and General n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 The Longest Straight and Superstraight n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5 The n-Lacings of Longest Vertical Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 The Strongest Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1 Statement of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 The Strongest n-Lacings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 The Strongest Straight n-Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4 Proofs of the Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 The Weakest Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.1 Summary of Results and Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A Related Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.1 Traveling Salesman Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2 The Shoelace Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B Loose Ends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.1 History. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.2 Shoelace Superstitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.3 Questions of Style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.4 Fashion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.5 What Is the Best Way to Lace Your Shoes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.6 Foot Problems and Lacings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B.7 What Is the Best Way to Tie Your Shoelaces?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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