viii Contents
6.2.5 Finite differences and asymptotic at zero . 125
6.3 Proofs by handwaving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Part II
Mathematical Reasoning
7 What Is It That Makes a Mathematician?. . . . . . . . . . . 135
7.1 Flies and elephants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 The inner dog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3 Reification on purpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.4 Plato vs. Sfard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.5 Multiple representation and de-encapsulation . . . . 143
7.5.1 Rearrangement of brackets . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6 The Economy Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.7 Hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.8 The game without rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.9 Winning ways . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.10 A dozen problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.10.1 Caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.10.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.10.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8 “Kolmogorov’s Logic” and Heuristic Reasoning . . . . 169
8.1 Hedy Lamarr: a legend from the golden era of
moving pictures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2 Mathematics of frequency hopping . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3 “Kolmogorov’s Logic” and heuristic reasoning . . . . 173
8.4 The triumph of the heuristic approach:
Kolmogorov’s “5/3” law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.5 Morals drawn from the three stories . . . . . . . . . . . . . 181
8.6 Women in mathematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9 Recovery vs. Discovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.1 Memorize or rederive? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.2 Heron’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.3 Limitations of recovery procedures . . . . . . . . . . . . . . 190
9.4 Metatheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10 The Line of Sight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.1 The Post Office Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.3 Some philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.4 But is the Post Office Conjecture true? . . . . . . . . . . . 207
10.5 Keystones, arches, and cupolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.6 Military applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
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