1. FORMULATION DU PROBLEME, ENONCE DU RESULTAT.
Dans l'espace R"+1 rapporte aux variables (t, xl9...9 xn) on considere le systeme
symetrisable quasilinSaire
n
Lu = d*ii+ 2 AXu) d~ u.
1
i = i
l
Les matrices At de taille NxN sont reelles, C00 de leurs arguments (reels) et il existe
une matrice Ao definie positive telle que les matrices A0At soient sym^triques; de
plus le systeme est strictement hyperbolique c'est a dire que les valeurs propres de
n
la matrice 2 A-£. sont distinctes pour tout { e R -{0}.
i = 1
A l'instant t = 0, soit xn = \(/0 (x^..., xn_{) l'equation d'une hypersurface r^guliere
Z0 definie au voisinage de 0 et soit u0 u n e fonction continue dans ce voisinage, dont
le gradient V^u° est continu jusqu'au bord de chaque cote de I
0
.
L'objet de ce travail est de construire au voisinage de 0 dans R
n + 1
une solution
lipschitzienne au probleme de Cauchy multidimensionnel
Lu = F(u) dans £0
u = u0 a l'instant t = 0 ,
la fonction F reelle etant C00 de ses arguments. D'apres Friedrichs [F], (voir aussi
Rauch [R]), le probleme lineaire a coefficients lipschitziens a propri£t6 de vitesse
finie de propagation des supports. II suffit done de resoudre le probleme non
lineaire par un schema global en variable d'espace. En fait la multidimension
exige de preciser la geometrie attendue des solutions, les algebres raisonnables
(conormales L00 et L2) dans lesquelles puisse tourner un schema iteratif etant
attachees a celles-ci. Plus precisement la singularity du gradient de la condition
initiate sur f0 doit donner naissance en general a des singularites sur les N
"surfaces" caracteristiques issues de f0 dans £ ^ 0 . Pour pallier au caractere
inconnu, au nombre et au manque de regularite a priori de ces surfaces on
transporte le probleme par "changement de variables" en effectuant comme
Alinhac [A2] l'eclatement de la surface initiale f
0
:
l
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