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M. SABLE-TOUGERON
t = t, Xi=yt pour i = 1,..., n-l, x„ = y ftAy) ,
t// nouvelle inconnue lipschitzienne verifiant
V(O,0,;y) = ^oCy) sur TSclate t = 0, 0 ; 0 ; N-l,
et les N surfaces issues de t09 xn = yj(tj,y) 6tant images des 0 = j pour j = 0,..., N-l.
Notant xjjJ la restriction de X/J a Z0 = ]-oo,0[ si j = 0, Ij = \j-l9j[ si 1^ j ^ n-l, IN = ]N-1,
oo[ si j = N, on obtient la bijectivit£ en dehors de l'£clat6 en imposant
de\pJ ^ Cj 0 si j = 0 ou N, Ir^x/jJ ^ Cj 0 si 1^ j ^ N-l, presque partout dans t ^0.
Le nouveau probleme a r^soudre se decompose en N+l problemes couples par des
conditions de transmission sur les surfaces caracteristiques 6 = j , j = 0,...,N-1; les
Equations d'int£rieur sont
dJ
(1.1) LV ^ a ^ + A V ) d / + B(i/,Vi//)
:
= F(u)
ay
pour 0 G i}, * G ]0, T], y e R"-i, avec v(t,6,y) = w(f, x), £(u,Vy/) = An(vydtf-A\v)djii.
n-l
A"(v)d v etant une ecriture abregee de 2 A.(u)d u.
y i = l
7 l
La propriete "caracteristique" des surfaces 0 = j est assuree par l'equation scalaire
non lin£aire
dtV&J» = kj+i(v(tj,y),-dyilj(tjfy)\
Xj(u,5") 6tant les valeurs propres (reelles et simples) de la matrice An(v)+A"(y)Z"
rang^es dans Fordre croissant, equation qui a un sens si les conditions de
transmission
£(u/,Vi//) u = B(u+1,Vi//) u/+1 sur 0 = j , pour j = 0,...,N-1,
alliees a (1.1) entrainent la continuity, vJ = u+1 sur 0 = j , du recollement v des u
sous l'imposition des conditions de Cauchy aux deux etats extremes
u/(O,0, y) = u^ipj (O,0,y)) pourj = 0 et j = N,6E Ij9ye R H
On s'interesse a une construction par schema iteratif sans perte de d£rivee de
la forme
L(,Vi^X
+ 1
= FfoJ), j = 0,...,N, avec
d,yv = Aj+1(uv,-ayi//v) sur 0 =j, j = 0,...,N-1.
II y est clair que Vy/ a une derivee de moins que v (au contraire du probleme de
choc, Majda [Ma]); on verra que les inSgalites d'£nergie convenables au dessus de
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