ONDES DE GRADIENTS 3
I'eclate sont a poids singulier
te,
e0 et de plus la technique de paralinearisation qui
neutralise le defaut de regularity des coefficients du a xjj n'est efficace qu'avec de
l'annulation sur I'eclate; il est done raisonnable de faire un schema
d'approximation par rapport a une solution approchee dans des espaces de
fonctions nulles sur I'eclate. D'un autre cot£ le membre de droite F(u(,) excluant la
presence de derivees de i// on ne peut accepter que des solutions approch£es
independantes de 6; on peut choisir (ce qui serait impossible pour une onde de
rarefaction) la "trace" de la condition initiale sur I'eclate
«(y) = #o(y V'oCy))
et on cherche a resoudre les problemes lin£aires
Uut,VWv+1 = F(ut - A Vv)dyS,
avec uv = a + uv, dans des espaces de fonctions nulles sur t = 0, 0 ^ 0 ^ N-l.
Venons en a la formulation precise: on suppose que V/0 et a sont C00 et meme
pour simplifier la redaction on suppose que xfJ^iy) = 0. De plus on fait l'hypothese
technique, pour ramener l'etude du probleme local a un probleme global, que a est
a support compact ainsi que les donnees de Cauchy pour et uN sur t = 0,
u(0, y) = uo(y,y(O,0,y)) - 5(y) dans 0 ; 0 et 6 ; N,
ce qui est raisonnable si on impose
i//(O,0,y) = 6 - maxQOJ-1) pour j = 0 ou N.
On note alors
u/ = a + xO
\ xfP = Vn + (0-max(0J-l)) + ^, si j = 0 ou N
(1-2) j .
I V* = *Vo + ^ si J = lv»,W-l,
i^o etant la solution nulle sur t = 0 de l'equation
dt(^0) = Xnmx
a
j)(3,-dy(tv4» si j = 0 ou AT
dt(bifo = (0-O-D)AJ+1(a,-dyav4)) + 0-^)^/5,-^(^0)) si j = 1,...,N-1.
et on resoud dans la bande de temps QT = ]0,T[xR", par schema iteratif sans perte
de derivee, le probleme non lineaire
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