(1.3)
M. SABLE-TOUGERON
w .
lixi = dfi + A\\hdjJ + B(i/,Vi//)
:
= ^F(a)-A\a)dya + H(i/))
S(u,Vi//)(^+1-
J) = 0 sur 0 = j , j = 0,...,N-1
0 0 1 A T N—N .
A
w =
XT U
* u
~XTU
s u r * = 0
couple aux problemes de Cauchy scalaires
(1.4) I ^
= A
* aj)^-V"
A-«*
a^-V^o)
I (^(0,69y) = 0, pour j = 0 ou N
(i 5) j
d
^
=
^-o-i))^
+
i(^-V
}+
o'-e»y,-V
}
-
aM
l^(0Ay) = 0 pour j = l,...,N-l,
dans des espaces de fonctions born£es et integrables (globalement en variable
d'espace) et nuUes sur l'eclat£. x*r egale a 1 pour j = l,...,N-lest une troncature dans
\6-max(0J-l)\ T pour j = 0 ou N, H est definie par
F(u) = F(a) + (A\v)-A\a))dya + H(u)
et on suppose que F(0) = 0 (hypothese technique).
On decrit rapidement ces espaces pour enoncer le resultat essentiel: ils sont
conormaux L00 ou L2 a poids singulier sur l'£clate, et bien qu'ils soient
intrinseques, pour ne pas alourdir les notations par la suite, on les d£finit en
utilisant la trace sur l'6clat£ a de la donn£e de Cauchy que Ton fait intervenir dans
la "distance a l'£clate"
pftfi) = t pour 1 , j ^ N-l
Pj(t,d) = t - X-irW) pour j = 0, p/jtfi) = t + A-ir(0-(N-l)) pour j = N,
ou x r(x) est une fonction croissante C00, impaire, egale a x dans [0,1], a 2 dans
x ^ 3 et de deriv£e r' ^ 1, par 1'intermediate de A ^ 1 auquel on impose
(1.6) A - (XN -X{)(a,0) ^ 2 Ao pour un Ao0.
L'espace A^j, conormal L°°de regularity /u e N, a poids pj, e G R, du domaine
ClTJ = ]0,T[x/jxR»-1, est d£fini par pjS«u e L°°(Orj) pour \a\ L M, 5 e £J ,
«,-
= { %
r^, dy},
r
r
A-ir(|0|-max(OJ-l)) sij = 0ouN , r,- = (j+l-OXd-j) si j = 1,...,N-1;
il est muni de la norme
*
6
* /
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