ONDES DE GRADIENTS 5
Pour 1^ j . N-l , A^j'* est I'espace des u e A^ tels que ddu G Apj muni de la
de la norme canonique IMI^j'* et pour j = 0 ou N, A^'j'*'~ est I'espace des u e A£J
tels que dtu et deue A^. ^ muni de la norme canonique ||.||£j,*,~.
L'espace H^j conormal L de regularity s G N , a poids pj est d£fini par p€j6au G
L2(&TJ)
pour |a| ^ s,d
E VJ;
il est muni de la norme
Pour j = 1,...,AT-1 et s ^ 2, H^'j* est I'espace des u e iff- tels que deu e H^j~ muni
de la norme canonique
||.|IT/*.
Si j = 0 ou N, Hpj*'~ est I'espace des u
G
H^. tels
T€+1 S-2 €*S***~
que dfu et deu e Hj.' muni de la norme canonique ||.||T,
Enfin les espaces qui d^crivent les conditions initiales sur t = 0 sont pour k =
Afe = { u G Afe , dfli* G A^ } de norme canonique ||.||fe
T^s'* = { w G T^*, d^u G T^+ ,s~ }, de norme canonique | . £*'*,
les espaces A^,M ei T^,s se decrivant comme A^'j et H^s. en remplagant ClT par
7
0
xR
n l
si fe = - 1 , 7
w
x R
n l
si fe = N et en supprimant le champ tdt dans «y, leur
norme etant notee INI^ et | . |£* respectivement.
Le resultat est le suivant:
Theoreme 1.1. Soit u = (ju'\
uN), u~ke
A^'^nT^'^'avec s (n+l)/2+6 et ee ]l/4,l/2[.
II existe T 0 tel que le problems (1.3), (1.4), (1.5) ait dans ClT une solution (unique)
u = (ui)j=ofm..,N P = (Pf)j=of...,N de rtgularite
j
A
-l,4,*,~ -3/2-e,s,*,~ j .-2,4,*,- „-5/2-£,s,s^ . .
A Ar
u G ATj n HTj , qr e ATj n HT sij = 0ouN
J A -1»4,*
T T
- l - e , s , * j
A
-2,4,*
T T
-2-e,s,* . . -
X T 1
ir G Ay., n #
T
. , p G Ay,, n #
T
. sij = l,...,N-l.
Les composantes extremes et uN, et pNverifient de plus
hi hi - l 3-fe
(rjdp u et (r-dt) dtfr e Apj pour 0 ^ k ^ 3
(rdp i/* (r,dp d ^ G / £ .
~€'s~
~ pour O^k^. s-l.
Cette solution est continue etxjj = (i//J) definie par (1.2) verifie
dd\ifJ 0 si j = 0ou N, t-^QipJ 0 si j = l,.»,N-l.
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