INTRODUCTION
Une onde de gradient est la singularity produite par la discontinuity de
d£rivees premieres dans un systeme hyperbolique quasilin^aire du premier ordre.
En une dimension d'espace la th^orie de son existence releve du cadre lipschitzien
et est bien cern£e. En multidimension sa propagation, lorsque les discontinuit£s
sont port£es par une seule surface, est etudi6e par Metivier [Me2] : l'onde vit dans
des algebres intersection d'espaces de Sobolev conormaux batis sur L00 et L2 et son
explosion est controlee uniquement par la norme de l'espace bati sur L00.
Dans le cas d'un probleme de Cauchy sans relations de compatibility, la
discontinuity initiale du gradient £met des singularity de meme type sur toutes les
surfaces caracteristiques issues de la surface de saut initiale: c'est ce que montre
ce travail, a la nuance pres que le cadre utilise n'est pas celui des fonctions
r£gulieres par morceaux mais, comme dans [Me2], des espaces un peu plus gros
qui ont l'avantage de bien se preter aux estimations d'6nergie. On d£gage ainsi une
version quasilineaire de l'etude semilin£aire de Metivier [Mel] et on etend tres
partiellement un resultat d'Harabetian [Ha] qui concerne la cat£gorie analytique.
La difficulty d'aborder un tel probleme a surfaces libres caracteristiques en
nombre arbitraire est attenuee en le presentant, comme Alinhac [A2] pour l'onde
de rarefaction, dans une configuration qui eclate la surface de saut initiale. En
contre-partie on doit manipuler des problemes lineaires qui en plus de la perte
d'une derivee entre coefficients et solution (phenomene absent dans l'onde de choc
de Majda [Ma], autre probleme de singularite (tres) forte a surface libre), n'ont plus
d'hyperbolicite sur l'eclate. A la difference de [A2] on a pu mettre en oeuvre
un schema iteratif sans perte de derivee, dans des algebres intersection d'espaces
de Sobolev conormaux L00 et L2 a poids singulier sur l'eclate, en exploitant son idee
de "bonne inconnue", [Al], dans une paralinearisation, proc£de d£ja utilise par
Metivier [Me2].
Received by the editor June 19,1990.
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