§1.- Introduction
Nous allons etudier des invariants de la topologie plongee d'une famille de germes
de singularites isolees de surfaces dans (C
3
,0).
D'apres la theorie devenue classique de Milnor, voir [Milnor], la topologie d'un
germe (V,0) de singularity d'hypersurface isolee dans (C n + 1 ,0 ) est determinee par le
couple ( S 2 n + 1 , A" 2 n _ 1 ), ou 5 2 n + 2 est une sphere de rayon suffisamment petit centree
en 0 G C n + 1 , et K2n~1 est l'intersection de cette sphere avec V ; la theorie de Milnor
nous assure que
K2n~l
est une variete compacte sans bord orientee de dimension 2n 1,
appelee le link de la singularity. II est aussi connu que ( 5 2 n + 1 , K2n~l) est un nceud fibre
simple, c'est-a-dire, qu'il existe une fibration localement triviale n : 5 2 n + 1 \ K2n~l
S1 = {t G C : \t\ = 1}, qui est en livre ouvert au voisinage de K, donnee par
TT(Z) = f(z)/\f(z)\, ou / est une equation de V.
Cette fibration admet un autre modele. Si Ton considere un cercle dans C de rayon
suffisamment petit et si Ton note X sa preimage dans la boule de bord S 2 n + 1 , alors X est
homeomorphe a g 2 n + 1 \ J[2n-i
e
t l
a
restriction de / a X est une fibration equivalente a
7r, ce qui nous permet de voir les fibres comme des varietes complexes. Milnor demontre
aussi que ces fibres ont le type d'homotopie d'un bouquet de fi spheres de dimension
reelle n. Cet invariant (JL est appele le nombre de Milnor de la singularity et peut se
calculer a partir de / .
Soit F la fibre au-dessus de 1 G C. Alors, le type topologique de 5 2 n + 1 \ Jf 2 n ~i
e s
t
determine par la classe d'isotopie d'un homeomorphisme ip : F F qui est appele
la monodromie geometrique. Nous appellerons monodromie entiere et monodromie
complexe, les automorphismes induits par p sur H
n
(F ; Z) et H
n
(i
r
'; C), respectivement;
ces automorphismes sont bien dermis. Nous noterons A(t) le polynome caracteristique
de cet automorphisme, qui sera appele par la suite le polynome caracteristique de la
singularite. La forme de Jordan de la monodromie complexe est soumise aux restrictions
posees par le theoreme de la monodromie, voir [Brieskorn] et [Grothendieck ; pp. 10-13],
qui affirme que la taille maximale des blocs de Jordan est au plus egale a n -f 1 ; en plus,
cette taille maximale est au plus egale a n pour les blocs de Jordan de valeur propre 1.
Beaucoup de travail a ete fait dans le cas des courbes, n = 1. Dans ce cas ( 5 3 , K1)
est un entrelacs, appele entrelacs algebrique. II existe une classification topologique
complete des entrelacs algebriques, voir [Michel-Weber]. En plus, pour les singularites
irreductibles (les nceuds algebriques) le polynome A determine le type topologique,
i.e., deux nceuds algebriques sont topologiquement equivalents si et seulement si leurs
polynomes caracteristiques sont les memes.
Dans ce travail, nous allons decrire completement la forme de Jordan de la mono-
dromie complexe pour une famille de singularites de surfaces dans C 3 , les singularites
superisolees que nous definirons plus tard et qui ont ete introduites dans [Luengo]. Les
resultats ont ete annonces dans [Artall] .
L'auteur a beneficie d'une bourse F.P.I, du M.E.C. d'Espagne
Received by the editor July 17, 1992, and in revised form February 15, 1993
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