2 ENRIQUE ARTAL-BARTOLO
Dans [Yau], Yau pose cette conjecture.
1.1 Conjecture. Soient (Vi,0) et (V2,0) deux germes de singularite de surface isolee
dans (C 3 ,0) ; notons Kf et K% leurs links orientes, et A-L et A
2
leurs polynomes
caracteristiques. Alors, si Kf est homeomorphe a K% et Ai = A
2
, les couples (S 5 , Kf)
et (S 5 , K\) sont homeomorphes.
Nous faisons remarquer que les classes d'homeomorphisme oriente des links sont
determinees par des graphes ponderes, car il s'agit de varietes graphees de Waldhausen,
voir [Waldhausen]. En particulier, les donnees des hypotheses de cette conjecture sont
de nature strictement combinatoire. Dans [Yau], Yau demontre la conjecture si l'on se
restreint a certaines families de singularites.
L'etude de la forme de Jordan de la monodromie des singularites superisolees de
surface fournit des contre-exemples a cette conjecture. Pour enoncer proprement les
resultats, nous allons introduire quelques notations et definitions.
1.2 Definition. Soit (V, 0) un germe de singularite de surface isolee dans (C
3
,0). On
dit que V est superisolee, en abrege SI, si elle se resoud abstraitement en un eclatement.
Fixons une telle singularite V. Nous noterons K son link, A son polynome
caracteristique, m la multiplicite de la singularite et fi son nombre de Milnor (fx est
le degre de A). Soit C C F 2 le cone tangent de la singularite, qui est une courbe de
degre m ; nous noterons Ci , .. . , C
r
ses composantes irreductibles. Nous verrons que
cette courbe est reduite. Etant donnee C C P 2 , nous pouvons construire le revetement
cyclique de P2 ramifie le long du diviseur C, note 7r : DQ —• P 2 ; nous noterons ip le
generateur canonique de la monodromie du revetement (DQ et p sont intimement lies
a la fibration de Milnor). L'application (p definit un automorphisme de H (D0,C) dont
le polynome caracteristique sera note A c ; toute cette construction ne depend que de
C C P 2 . Le premier resultat que nous utiliserons est le suivant :
1.3 Theoreme. [Luengo] Le type d'homeomorphisme de K ne depend que du type
d'homeomorphisme du couple (T(C),C) , ou T(C) est un voisinage regulier de C dans
P 2 .
1.4 Definition. Nous dirons qu'unepropriete V de la courbe C C P 2 est unepropriete
combinatoire si elle ne depend que du type d'homeomorphisme du couple (T(C),C).
Le theoreme precedent affirme que K est un invariant combinatoire du cone tangent.
Considerons l'ensemble des points singuliers de C, note Sing(C). Pour P 6 Sing(C),
nous noterons A p le polynome caracteristique de ( C , P ) C (P 2 ,P) , fip son nombre de
Milnor et rp le nombre de composantes irreductibles de C en P.
1.5 Definition. Soit H un C-espace vectoriel et ip : H » H un endomorphisme de H.
Alors, le i-ieme polynome de Jordan de (p, note Ai(t), est le polynome unitaire tel que
pour chaque £ G C, la multiplicite d'un ( comme racine de Aj(tf) est egale au nombre
de blocs de Jordan de taille i -f 1 dont la valeur propre est £.
Dans la suite, nous noterons A2 et A
2
le premier et le deuxieme polynomes de
Jordan pour la monodromie complexe de V et A f le premier polynome de Jordan pour
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