FORME DE JORDAN DE LA MONODROMIE 3
la monodromie complexe de C en P G Sing(C). D'apres le theoreme de la monodromie,
ces polynomes, avec A et A p , P Sing(C), determinent et sont determines par la forme
de Jordan de ces differentes monodromies complexes.
1.6 T h e o r e m e principal. Soit (V,0) un germe de singularite de surface superisolee
dans (C 3 ,0) dont le cone tangent C F 2 a r composantes irreductibles. La forme de
Jordan de la monodromie complexe est determinee par les polynomes suivants :
(i) Le polynome caracteristique :
(im _ - I \ m
2
- 3 m + 3 - V
^P
^(0=^—
J
—[zi n
^p('m+i)-
PeSing(C)
(ii) Le premier polynome de Jordan
A i
w
Acu)(tA - iy- 1
n
n
A f ( t ^ ) A f
r o )
( Q
V ;
PGSing(C) l,(m)V ;
ou A^^t) est le pgcd de Ap(t) et (tm - 1)^ et
( m )
(t ) est le pgcd de A f (t) et
(tm - \ y p .
(iii) Le deuxieme polynome de Jordan :
A2(*) - n Aff(m)(o.
PGSing(C)
Pour demontrer ce result at, nous allons etudier la Structure de Hodge Mixte, en
abrege SHM, sur la cohomologie de la fibre de Milnor. Dans [Steenbrink], cette SHM est
construite a l'aide d'une resolution plongee de la singularite. Nous allons en construire
une de facon effective pour pouvoir decrire une partie de la SHM.
1.7 Contre-exemple a la conjecture de Yau. Nous pouvons observer dans le
theoreme que tous les facteurs, sauf un, qui apparaissent dans les polynomes ne
dependent que des singularites de C. En particulier, ils sont des invariants combinatoires
de C. Par consequent, le polynome caracteristique A(t) est un invariant combinatoire
du cone tangent. Cest-a-dire, les donnees de la conjecture de Yau sont, dans le cas
superisole, des invariants combinatoires du cone tangent.
Par contre, il est connu que Ac(t ) n'est pas un invariant combinatoire du cone
tangent. Dans [Zariski 1], [Zariski 2] et [Zariski 3], Zariski demontre qu'il existe des
courbes C ! , C
2
ayant la meme combinatoire, i.e. (T(Ci),C! ) est homeomorphe a
(T(C
2
),C
2
) , et telles que A
C l
(£) ^ Ac
2
(t) (ce qui implique que ( P 2 , ^ ) n'est pas
homeomorphe a (P 2 , C
2
)) ; une exposition plus exhaustive de ce sujet, avec de nouveaux
exemples se trouve dans [Artal2].
Nous verrons plus tard que pour toute courbe projective plane reduite C C P 2 il
existe une singularite SI dans C 3 , dont le cone tangent est C. Alors, soient Vi, V2 deux
singularites SI telles que leurs cones tangents C^ et C
2
aient la meme combinatoire, mais
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