2.- Forme de Jordan et SHM
2.1.- Notations
Dans cette section (V,0) C (C n + 1 ,0 ) est un germe a Forigine d'hyper surf ace
reduit, determine par une equation f(x0, # i , . . . , x
n
) = 0 ou / 6 C{rro,a:i,... ,rrn}
est sans facteur carre et / ( 0 , 0 , . . . , 0 ) = 0. On va aussi exiger que le germe ait une
singularity isolee a Forigine, c'est-a-dire, que le germe d'ensemble algebrique defini
par v7(/), l'ideal jacobien de la singularity contient Forigine comme point isole. Soit
(i := dime C{x
0
,^i , •. ,^n}/v7(/)- La singularity est isolee si et seulement si \i oo.
Dans ce cas \i s'appelle le nombre de Milnor de la singularity.
Nous fixons les notations pour enoncer les resultats de la theorie classique de Milnor,
voir [Milnor]. Soient U un voisinage de Forigine et / : U C une fonction holomorphe,
avec /(0) = 0, telle que / est un representant du germe / £ C{xo,^i,.. . ,xn}- Dans
la suite, chaque fois que j'introduirai un germe je supposerai qu'un representant a ete
choisi.
Soit e 0 assez petit pour que / - 1 ( 0 ) intersecte transversalement la sphere S 2 , n+ 1
pour tout e' tel que 0 e' e. Le type topologique de K*?"1 := 5^, n+ 1 fl / _ 1 ( 0 )
est independant de e'. II s'agit d'une variete compacte sans bord orientee de dimension
2n 1, qu'on notera K2n~l et que Fon appelera le link de la singularity.
II existe un diffeomorphisme entre le couple (B£n+ ,B£ D / - 1 ( 0 ) ) et le cone
de base ( 5 ^ n + 1 , K£) ; ce diffeomorphisme reflete la structure conique de la singularity.
En particulier le type topologique de (S^ n + 1 , K€) determine le plongement de (^,0) au
voisinage de Forigine dans C n + 1 . Alors, nous dirons que le type topologique plonge de
la singularity (V,0) C (C n + 1 ,0 ) est le couple (5 2 n + 1 ,A^) := ( 5 ? n + 1 , Ke). Nous dirons
aussi que K C § 2 n + 1 est un nceud algebrique. Les nceuds algebriques sont des nceuds
fibres simples :
L'application differentiable T4 : 5 2 n + 1 \ * 5 1 est une fibration differentiable
localement triviale. Les fibres F sont des varietes ouvertes de dimension 2n, ayant le type
d'homotopie d'un bouquet de fi n-spheres, \x etant le nombre de Milnor. L'adherence F
d'une fibre est la reunion de F et K ; F est une variete compacte dont le bord est K
qui a le meme type d'homotopie que F.
Cette fibration s'appelle la fibration de Milnor de la singularity. La fibre F :=
( X ) -
( 1 )
est la fibre de Milnor de la singularite. Par abus de langage, F est aussi
appelee la fibre de Milnor.
Milnor donne un autre modele pour la fibration qui porte son nom, [Milnor ; p.
53] : On pose B := B2£n+2 n / _ 1 ( ^ | ) , a v ^c 0 rj « e, et B := B \ / ^ ( O ) . Alors,
la restriction f : B D2 \ {0} est une fibration localement triviale. De plus B est
homeomorphe a une boule de dimension 2n + 2 et les fibres sont diffeomorphes a F.
Les deux fibrations sont equivalentes dans le sens qui suit : II existe des plongements
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