6 ENRIQUE ARTAL-BARTOLO
qui rendent le diagramme suivant commutatif
5
2n+i \
K v
ft
S' D',\{0),
et tels que les fibres de la premiere fibration se plongent sur les interieurs des fibres de
la deuxieme.
2.1.1 Definition. Soit TT : M S 1 une fibration differentiate localement triviale,
avec M variete compacte. On note F := 7r _1 (l). Soit X un champ de vecteurs sur M
tel que pour tout p G M, on a o?7r(.Ym) = -f§\n(p)' Le diffeomorphisme p : F F de
premier retour associe a Vintegration de ce champ de vecteurs est appele la monodromie
geometrique. La monodromie geometrique est bien definie a isotopie pres.
La definition (2.1.1) s'applique a la fibration de Milnor. A cause du type d'homo-
topie de la fibre, le seul invariant homologique qui compte est l'homologie ou la
cohomologie en degre n.
2.1.2 Definition. La monodromie complexe de la fibration de Milnor est Vauto-
morphisme p* : rIn(F;C) H n (F ; C) induit par la monodromie geometrique; tp*
ne depend pas du choix de (p.
Le polynome caracteristique A(t) et la forme de Jordan (i.e., la classe de conjugai-
son) de cet automorphisme sont des invariants de la singularity. Nous appelerons A(t)
le polynome caracteristique de la singularity. La forme de Jordan est determinee par les
polynomes de Jordan ; elle est soumise a un certain nombre de restrictions, donnees par
le theoreme de la monodromie dont nous avons parle dans l'introduction :
2.1.3 T h e o r e m e de la m o n o d r o m i e . Soit (V, 0) C (C
n + 1
,0 ) un germe de singularity
isolee d'hypersurface. Soient F la fibre de Milnor et ip* : H n (F;C ) H n (F;C ) la
monodromie complexe. On note A(t) son polynome caracteristique et A
t
(t) le i-ieme
polynome de Jordan. Alors,
(i) A(t) est un produit de polynomes cyclotomiques.
(ii) Ai(t) = 0 si i n.
(iii) A„(l ) / 0.
2.1.4 Exeniple 1. Si (V, 0) C (C n + 1 , 0) est donne par une equation quasihomogene, on
construit une monodromie geometrique d'ordre fini. A fortiori la monodromie complexe
est aussi d'ordre fini et, par consequent, A,-(£) = 1 si i 1.
2.1.5 Exempl e 2. Soit (V,0) C (C" 4 " 1 ^) donne par la fonction
/(x
0
, x,,..., xn) = (xoXl ... xnf + xln+A + x\n+4 + + 4 n + 4 .
Alors, An(t) 7^ 1. Cet exemple se trouve dans [Malgrange].
Dans ce travail nous allons donner d'autres exemples de singularites avec des blocs
de Jordan de taille maximale.
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