FORME DE JORDAN DE LA MONODROMIE
7
2.2.- Diviseurs a croisement s n o r m a u x et resolution plongee
Dans ce paragraphe M est une variete analytique complexe de dimension n + 1.
Par definition, une variete analytique complexe est toujours lisse.
2.2.1 Definition. Un diviseur D de M est la donnee de {(Uj,fj)}
eJ
oil
(i) {Uj}
J
est un recouvrement ouvert de M.
(ii) Pour chaque j £ J, fj : Uj C est une fonction meromorphe, appelee une equation
deD.
(iii) Pour chaque j,k £ J tels que Uj O Uk ^ 0, la fonction gjk := fjfj^1 ' Uj 0 Uk C
est holomorphe et jamais nulle.
On dit que deux diviseurs {(Uj, fj)} -eJ et {(Vk,hk)}keK sont equivalents si la
reunion {(Uj,fj), (V*., /i^)}
eJkeK
est de nouveau un diviseur. Par abus de langage, on
appelle diviseur une classe d'equivalence de diviseurs.
2.2.2 Exemple . Soit / : M C une fonction meromorphe. Cette fonction definit
naturellement un diviseur qui est appele le diviseur de / .
2.2.3 Definition. Soient M et M' des varietes analytiques complexes lisses de
dimension rc+1 et a : M' M une application holomorphepropre. Si D = {(Uj, fj)}
GJ
est un diviseur de M, alors la transformee totale de V est le diviseur &*(D) :=
{{v-\U3)J3oo)}^.
2.2.4 R e m a r q u e . II faut bien distinguer un diviseur de son lieu de zeros et de poles,
\D\ := I ) {x £ Uj\fj ou f~l n'est pas definie en x}
qui est une hypersurface de M , appelee le support de D. Cette hypersurface est reunion
localement finie des composantes irreductibles {Da}aeA de \D\.
On fixe a £ A ; soit x £ Da 0 U3; un point lisse de \D\. Alors, l'ordre du zero de fj
en x (qui est negatif si x est un pole) ne depend ni de j ni de x. Le nombre ainsi obtenu
est un invariant ma de la composante Da et de D. Le diviseur D est completement
determine par la somme formelle
\^ maDa, avec ma ^ 0.
aeA
Dans la definition precedente, il faut faire la difference entre la transformee totale a*
(ou pull-back) du diviseur et la preimage cr_1 du support.
2.2.5 Exemple . Soit H une hypersurface reduite et soit {Ha}aeA l'ensemble de
ses composantes irreductibles. Alors H s'interprete comme un diviseur ^Za^^Ha. Un
tel diviseur s' appelle diviseur reduit. Par abus de langage, on identifiera souvent les
hypersurfaces et les diviseurs reduits.
2.2.6 Definition. Un diviseur D = YlaeA m a-^a? avec ma 0 est a croisements
normaux s'il satisfait a la situation suivante :
Previous Page Next Page