FORME DE JORDAN DE LA MONODROMIE 7 2.2.- Diviseurs a croisement s n o r m a u x et resolution plongee Dans ce paragraphe M est une variete analytique complexe de dimension n + 1. Par definition, une variete analytique complexe est toujours lisse. 2.2.1 Definition. Un diviseur D de M est la donnee de {(Uj,fj)} eJ oil (i) {Uj} J est un recouvrement ouvert de M. (ii) Pour chaque j £ J, fj : Uj C est une fonction meromorphe, appelee une equation deD. (iii) Pour chaque j,k £ J tels que Uj O Uk ^ 0, la fonction gjk := fjfj^1 ' Uj 0 Uk C est holomorphe et jamais nulle. On dit que deux diviseurs {(Uj, fj)} -eJ et {(Vk,hk)}keK sont equivalents si la reunion {(Uj,fj), (V*., /i^)} eJkeK est de nouveau un diviseur. Par abus de langage, on appelle diviseur une classe d'equivalence de diviseurs. 2.2.2 Exemple . Soit / : M C une fonction meromorphe. Cette fonction definit naturellement un diviseur qui est appele le diviseur de / . 2.2.3 Definition. Soient M et M' des varietes analytiques complexes lisses de dimension rc+1 et a : M' M une application holomorphepropre. Si D = {(Uj, fj)} GJ est un diviseur de M, alors la transformee totale de V est le diviseur &*(D) := {{v-\U3)J3oo)}^. 2.2.4 R e m a r q u e . II faut bien distinguer un diviseur de son lieu de zeros et de poles, \D\ := I ) {x £ Uj\fj ou f~l n'est pas definie en x} qui est une hypersurface de M , appelee le support de D. Cette hypersurface est reunion localement finie des composantes irreductibles {Da}aeA de \D\. On fixe a £ A soit x £ Da 0 U3 un point lisse de \D\. Alors, l'ordre du zero de fj en x (qui est negatif si x est un pole) ne depend ni de j ni de x. Le nombre ainsi obtenu est un invariant ma de la composante Da et de D. Le diviseur D est completement determine par la somme formelle \^ maDa, avec ma ^ 0. aeA Dans la definition precedente, il faut faire la difference entre la transformee totale a* (ou pull-back) du diviseur et la preimage cr_1 du support. 2.2.5 Exemple . Soit H une hypersurface reduite et soit {Ha}aeA l'ensemble de ses composantes irreductibles. Alors H s'interprete comme un diviseur ^Za^^Ha. Un tel diviseur s' appelle diviseur reduit. Par abus de langage, on identifiera souvent les hypersurfaces et les diviseurs reduits. 2.2.6 Definition. Un diviseur D = YlaeA m a-^a? avec ma 0 est a croisements normaux s'il satisfait a la situation suivante :
Previous Page Next Page