8 ENRIQUE ARTAL-BARTOLO
Soient x e M et Dao, ..., Dar, avec r 1, les composantes irreductibles
distinctes de \D\ qui passent par le point x. Alors, il existe un voisinage U de x dans
M avec des coordonnees X0, .. . , Xn, telles que
•yrnotQ Y " m « l •yrnctr r\
est une equation de D.
II y une facon simple de coder un diviseur a croisements normaux.
2.2.7 Definition. Soit D = X^aGA m «^« un ^ l v I s e u r a croisements normaux. Le
complexe dual K associe a D est le complexe dehni comme suit :
(i) Uensemble des sommets de K est en bisection avec Vensemble {Da\a £ A} des
composantes irreductibles de D. On note a le sommet qui s'envoie sur Da par la
bijection.
(ii) Soit Ki Vensemble des i-simplexes de K. Alors, il existe une bijection
Ki {composantes connexes de DQo H fl Dai | a
0
, . . . , oci distincts} .
(iii) On note Da la composante connexe associee a a. Soient DaQ,..., Dai les com-
posantes irreductibles de D qui contiennent Da. Alors, {a0,... ,a; } est Vensemble
des sommets de a.
(iv) Soient a et r deux simplexes tels que a est une face de r, note a - r. Alors a - r
si et seulement si Da D Dr.
A cause des croisements normaux, le complexe K est au plus de dimension n. K
n'est pas, en general, un complexe simpicial, car les sommets ne determinent pas les
simplexes. La premiere sous-division barycentrique de K est un complexe simplicial.
Soit (V, 0) C (C n + 1 ,0 ) un germe de singularity isole d'hypersurface ; soit / : U —• C
une fonction holomorphe sans facteur carre qui le definit, i.e., telle que V / - 1 ( 0 ) . Le
diviseur de / est reduit et il s'identifie a son support V.
2.2.8 Definition. Une resolution plongee de (V,0) est une application holomorphe
propre p : X U telle que :
(i) X est une variete lisse de dimension n -f 1.
(ii) p \: X \ /9-1(0) U \ {0} est un isomorphisme analytique.
(iii) Le diviseur p*(V), qui est le diviseur de f := fop, est a croisements normaux.
2.2.9 Definition. La transformee stricte de V par une resolution p est Vhypersurface
obtenue par V := p~l(V \ {0}.
En tant que diviseur, on ecrit p*(V) = V + E ou E est un diviseur tel que
\E\ = /9_1(0). Puisque p est propre, \E\ est compact. Le diviseur E est appele le diviseur
exceptionnel de la resolution. Les multiplicites des composantes irreductibles de p*{V)
sont positives car il est le diviseur d'une fonction holomorphe. A une resolution plongee
on associe les deux complexes suivants K et K+. Par definition, K est le complexe dual
de p*(V) et K+ est le complexe dual de E.
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