INTRODUCTION
La torsion de Reidemeister est un invariant combinatoire des CW-complexes
munis d'une representation de son groupe fondamental et d'une base de son
homologie a coefficients tordus par cette representation. Dans cet article on
etudie une torsion associee a une representation d'origine geometrique.
On s'interesse aux varietes M de dimension trois, compactes, orientees et
dont Pinterieur est hyperbolique a volume fini. Cette structure hyperbolique
induit une representation d'holonomie p0 : IIi(M)
Isom+(HI3)
= P5L
2
(C)
et une representation adjointe Adpo : IIi(M) * Aut(s/2(C)) qui est unimodu-
laire. D'apres Milnor, il existe une torsion de Reidemeister pour M, associee
a la representation adjointe Adpo et au choix d'une C-base hi de Hi(M;Adpo)
pour i 0,1, 2,3. On note cette torsion tor(M; Adpo, {hi}) et c'est un nombre
complexe non nul defini a signe pres.
II s'agit alors d'etudier si H*(M;Adpo) est nulle ou non et de trouver une
base de cette homologie quand elle n'est pas nulle. Ceci nous mene a etudier
separement les varietes closes (chap. 1 et 2) des varietes a bord (chap. 3 et 4).
De plus on s'est interesse aux varietes a singularites coniques (chap. 5). On
a defini une torsion pour les varietes coniques hyperboliques qui est une fonc-
tion analitique des angles singuliers et qui s'annule lors d'une degenerescense
euclidienne. L'etude de ces degenesescenses est une etape importante dans le
programme de Thurston de geometrisation des orbifolds.
Les principaux resultats de ce memoir ont ete annonces dans [Por].
Varietes closes. Dans le cas d'une variete close, en utilisant le theoreme de
rigidite locale de Weil et le theoreme de Mostow, on demontre le resultat suivant:
THEOREME.
Soit M une variete de dimension trois, close, orientee et hy-
perbolique. Uhomologie H*(M;Adp0) est triviale et la torsion tor(M;Adpo) G
C*/ ± 1 est un invariant topologique de la variete orientee, note TOR(M). De
plus TOR(M) a les proprietes suivantes:
(i) Si M est obtenue en renversant I'orientation de M, alors TOR(M)
±TOR(M).
(ii) Cette torsion est invariante par mutation.
(iii) Si M est une variete fibree sur le cercle de fibre F et de monodromie
f, alors TOR(M) = det(/* - Id) ou /* : Hi(F;Adp0) Hi(F;Adpo)
est la monodromie homologique a coefficients tordus par la representation
adjointe de Vholonomie.
Regu par l'editeur le 13 fevrier 1995, en version revisee le 2 mai 1996.
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