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JOAN PORTI
On obtient en fait une version generale dans le cas des orbifolds (theoreme
i.i).
Dans le deuxieme chapitre on s'interesse au comportement de cette torsion
par revetements reguliers finis et, plus generalement, par actions de groupes
d'isometries. En particulier, on montre qu'il existe des varietes hyperboliques
ayant meme volume et meme 77-invariant, mais des torsions differentes.
Varietes a bord. Lorsque le bord de M est non vide, on etudie la torsion,
non seulement pour l'holonomie de I'interieur de M, mais pour une famille de
representations.
On commence par etudier l'ensemble des representations R(M) de IIi(M)
dans 5L2(C), qui est un ensemble algebrique affine, appele variete des represen-
tations de M. L'action par conjugaison de SL2(C) sur R(M) est algebrique et
son quotient dans la categorie algebrique est la variete des caracteres X(M).
Etant donnee une representation p G #(M), son caractere \p est l'application
XP : IIi(M) —• C definie par Xp(l) trace(p(j)), pour 7 G IIi(M).
Pour 7 G IIi(M), on note I1 : X(M) —• C la fonction polynomiale definie par
I-y(x) x{l)- pour x £ X(M). On note Rlrr(M) l'ensemble des representations
irreductibles de R(M) et Xirr(M) sa projection sur X(M).
Soit po G R(M) un releve de la representation d'holonomie de la structure
hyperbolique complete de I'interieur de M. On s'interesse a la composante
irreductible Xo{M) de X(M) contenant %p0, qu'on appelle composante dis-
tinguee. Elle est unique a isomorphisme pres.
Un des resultats principaux de cette partie est:
THEOREME
4.1 (Fonction torsion sur X
0
(M)). Soit M une variete de di-
mension trois orientable, compacte, a bord une reunion disjointe de k 0 tores
Tj2,
, Xfc et dont I 'interieur est hyperbolique a volume fini. II existe une appli-
cation unique a signe pres
T
M
:tfi(dM;Z)—-Q(X
0
(M))
qui est un homomorphisme Z-multilineaire par rapport au produit Hi(dM] Z) =
#1 (T-J2;Z) x x Hi(T^;Z) et satisfaisant les trois proprietes suivantes:
(i) Pour tout a G Hi(dM;X) le domaine de definition de T(M,a) contient
Vouvert X0{M) n Xirr(M).
(ii) (Formule de changement de courbes) Soient p, = {p\,... ,pk} et 7 =
{71,... ,7fc} deux systemes de courbes simples fermees sur dM. On a
I 'egalite de fonctions rationnelles
k
p _4
T\M^=n
~
p
3=1 ^
91^
dll3
T
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(iii) (Formule de chirurgie) Soit x^ £ Xo(M) le caractere induit par l'holono-
mie de la variete close MM obtenue par chirurgie de Dehn hyperbolique
sur M le long du systeme de courbes simples fermees p sur dM. Si
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