TORSION DE REIDEMEISTER 3
A (71), , A(7fe) sont les longueurs complexes des dmes 71,.. . ,7fc des
tores solides ajoutes, alors:
k
TOR(M^) =
±T
( M | / I )
(
X M
)
I t I
s h
"
2 (lA(7i))
i=i
/dee de /a construction de T(M?M). La construction cette fonction est liee aux
parametrages locaux de X(M). En efFet, etant donnee une representation p G
R(M), pour construire une torsion de Reidemeister pour M associee a Adp on
doit choisir une base de H*(M; Adp). Ce choix est lie au choix d'un parametrage
local de X(M) puisque il existe une inclusion naturelle de l'espace tangent a
X(M) en
Xp
dans
Hl(M]Adp).
Etant donnes 7 G IIi(M) et \ ^ ^(^0 tout nombre complexe u^(x) £ C tel
que i
7
(x) 2ch(^
7
(x) ) est appele longueur complexe de 7 en x- Lorsque p G
Rirr(M)
est une representation irreductible qui restreinte a chaque composante
de dM n'est ni parabolique, ni triviale, on montre que, pour tout 7 G Hi(dM),
la longueur complexe -u7 definit une fonction analytique sur un voisinage de xp
dans X(M).
Soit p G
Rirr(M)
une representation irreductible qui restreinte a chaque com-
posante du bord est non triviale. Pour tout systeme p = {p\,... , pk} de courbes
simples fermees sur 9M, tel que si p restreinte a la j-eme composante de dM
est parabolique alors p(pj) / ±Id, on definit sur un voisinage V de \p
u n e
ap-
plication analytique a^ : V C X(M) -
Cfc
par a^(x) = (a
Ml
(x), »«/xfc(x))»

/
V
N / ^ ( X )
sip(^)^±Id
^ U j ~ l ^ ( x ) sip(^) = ±Id
La proposition suivante est une version du corollaire 3.27.
PROPOSITION.
Soient p un systeme de courbes fermees simples sur dM et
p G
Rirr(M)
une representation irreductible telle que p(pj) est non trivial si
p restreinte a la j-eme composante de dM est parabolique, pour j = 1,... , k.
Alors les assertions suivantes sont equivalentes.
(i) Le morphisme
Hl(M,p\Adp)

Hl(M\Adp),
induit par Vinclusion, est
nul.
(ii) La dimension de
Hl(M\Adp)
est minimale et a^ est un parametrage
local d'un voisinage de Xp-
Une representation irreductible p G
Rtrr(M)
est appelee p-reguliere si elle
satisfait les assertions de la proposition. On montre que si p G
Rirr(M)
est une
representation /x-reguliere alors il existe un choix de bases hi et /12 de H1 (M; Adp)
et H2(M;Adp) respectivement qui ne depend que de p.
Pour construire la fonction T(M,M) on definit une fonction reguliere T(M?/X) sur
Rlrr(M),
invariante par conjugaison et dont le domaine de definiton contient
Rirr(M).
Pour p G
Rirr(M)
on definit:
- / \ _ / 0 si p n'est pas )U-reguliere
(Af,/i) (P) ~ j
t o r
(
M ;
Adp^ {hl^ ^2})
s i p e s t
M_r£guliere
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