4 JOAN PORTI
On verifle alors qu'onpeut faire unchoixde signe telque T(M/X) soit analytique et
que
T(M,/X)
es^ invariante par eonjugaison, d'ou la fonction T(M/i) induit
T(M,/X)-
La formule de ehangement de courbes s'obtient en comparant les deux bases de
H\{M\ Adp) associees respectivement aux courbes, et la formule de chirurgie est
une application de la suite de Mayer-Vietoris.
Varietes coniques. Dans la derniere partie on etudie la torsion des varietes
coniques C hyperboliques, orientees, closes et dont le lieu singulier S c est une
sous-variete de la variete topologique sous-jacente \C\. Soit Mc \C\\ V(Tc)
la variete obtenue en enlevant un voisinage regulier de £?• La structure hyper-
bolique de C induit une representation d'holonomie p : Ui(Mc) PSL2{C).
Soient p G R(Mc) un releve de p dans SX2(C) et \p £ X(Mc) le caractere
induit. On definit alors:
TOR(C) = ±T
( M c
,^
c )
(
X
p) G C 7 ± 1
ou pc est un systeme de meridiens de £ c sur dMc-
Soit {Co} une famille de varietes coniques hyperboliques ayant meme variete
sous-jacente |C|, meme lieu singulier Ec et dont les angles singuliers sont a =
(ai,.. . , a*;). D'apres un theoreme de rigidite de Hodgson et Kerchkoff, si les
angles singuliers restent plus petits que 27r, alors TOR(Ca) est une fonction
analytique de a qui ne s'annule pas lorsque Ca est hyperbolique. On s'interesse
alors au comportement de la torsion lors d'une degenerescense euclidienne.
Soient {Cn}nEN une suite de varietes coniques hyperboliques et Coo une variete
cdnique euclidienne. On dit que les structures hyperboliques de Cn degenerent
vers la structure euclidienne de Coo s'il existe une suite de reels positifs {Kn}ne^
qui tend vers zero et une suite d'homeomorphismes hn : (|C
n
|,£c
n
) —*•
(|Coo|, ^Coo) tels que, pour tout n G N, hn est une £n-quasi-isometrie entre
-jf-Cn et Coo, avec
K J U G N
qui tend vers zero.
Le resultat principal pour l'etude des degenerescences est le theoreme suivant:
THEOREME
5.13. Soit {Cn}n(EN une suite de varietes coniques hyperboliques
closes et orientees dont les structures hyperboliques de Cn degenerent vers la
structure euclidienne de Coo, oil Coo est une variete conique euclidienne dont les
angles des singularites n'appartiennent pas a 27rZ. Alors lim TOR(Cn) = 0.
n—oo
Soit {Ca} une famille de varietes coniques hyperboliques ayant meme variete
sous-jacente |C|, meme lieu singulier £ c et dont les angles singuliers sont plus
petits que n. D'apres un theoreme de Thurston (voir [Zho]), si la variete \C\
est irreductible alors les seules degenerescenses possibles sont euclidiennes. Le
theoreme precedent montre que la torsion d'une variete conique hyperbolique
fournit un critere pour decider si la famille {Ca} degenenere ou non.
Remerciements. Ce travail a constitue ma these doctorale, dirigee par M.
Boileau sur un sujet propose par C. Safont, lesquels je remercie vivement. Je tiens
aussi a exprimer ma gratitude a W. Dicks, J. P. Otal, F. Paulin, P. B. Shalen,
L. Siebenmann et C. Simpson pour leurs conseils et remarques si profitables,
ainsi qu'au rapporteur pour sa lecture soigneuse et ses suggestions fort utiles.
Finalement je remercie le Ministerio de Educacion y Ciencia de I'Espagne pour
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