CHAPITRE 0
PRELIMIN AIRES
0.1. Torsion d'un complexe
Dans cette section on donne la definition de la torsion d'un complexe d'apres
Milnor [Mil].
Soit k un corps commutatif. On travaillera toujours avec des espaces vectoriels
sur k de dimension finie. Soient a = {ai,... , an} et b = {&i,... , bn} deux bases
de kn. Si Cij G k sont tels que a; = 5Z?=1 Cijfy a l ° r s l a niatrice (cij)ij est
inversible et on definit [a, b] = ±det(c^) G fe*/{±l}.
Soit C* = (Ci,d) = (Cn Cn_i —• Ci —• Co) un complexe de k-
espaces vectoriels. On definit comme d'habitude les bords Bi = Im(Ci+i Ci),
les cycles Zi = ker(C; Ci_i) et l'homologie iJj = Zi/B{. Les deux suites
suivantes sont exactes
0—Zi—Ci—Bi_i—•()
0—Bi—Zi— A* —0
Soient Si : Bi Ci+i et s; : i7; Zi des sections pour ces suites. Si 6* =
{&!,... , 6J. } est une fc-base de J5i et hl = {ft^,... , ftj } une base de #;, alors
bl U 6 i _ 1 U ft* est une A:-base de Cu ou bl~l = S i - i ^ " 1 ) = {s^^ftj" 1 ),... ,
^-1^7-J}
et
^ = *(^) = Wi) , Si(Mj}.
DEFINITION
0.1. [Mil] Soit C* = (Cud) = (Cn -^ Cn-X -^ ^ Cx -^
Co) un complexe de fc-espaces vectoriels d'homologie H*. Soient
c1
et
hl
des
bases de d et iJj respectivement pour i = 0,... , n. On definit la torsion du
complexe C dans les bases c1 et hl par
n
tor(C„ {c*}, {ft*}) = ± J J t f U
62"1
U ft\
c^-V"1
G fc*/{±1}
i=0
Dans [Mil], Milnor prouve que cette torsion dans A;*/{±1} ne depend pas des
choix des bases bl ni des sections Si et si. D'apres la definition on peut montrer
facilement la formule suivante de changement de base.
PROPOSITION
0.2. Si
cl
et
(cf)1
sont des bases de Ci et si
hl
et
(ft')2
sont des
bases de Hi pour i 0,... n, alors:
M a , {(c'Yh {{h'Y}) = f[ ( p ^ )
tor(c'
^ W
D
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