8 JOAN PORTI
Soit 0 M* iV* P* 0 une suite exacte de complexes d'espaces
vectoriels. On en deduit une suite exacte longue en homologie:
#,(M*) ^ + Hi(N*) ^ H2(P*) -A, H^M*)
Soit W* le complexe defini par:
W3; = Hi(P*)
W
3
i+i=ffi(M
#
)
W
3
i+2=JW )
Alors, en considerant les morphismes de la suite exacte longue comme operateurs
bord, 7Y* devient un complexe acyclique. Milnor demontre alors:
THEOREME
0.3. [Mil] Soit O ^ M ^ i V i P - ^ 0 une suite exacte de
complexes d'espaces vectoriels. Soient
clM, clN,
cP,
hlM, hlN
et hp des bases de
Mi, Ni} Pi, Hi(M), Hi(N) et Hi{P) respectivement Si [cj^cj^- UcP] = ±1, ou
7r(cp) = cP, alors:
tor(AT,,{4},{/4}) =
tor(M„ {c*M}, {h*M}) tor(P„ {cj,}, {tiP}) tor(W., {h%} U {/i*M} U {/iJP}) D
On aura besoin d'une notion de torsion plus generate et qui est decrite avec
detail dans [Mil]. Soit R un anneau unitaire, on note GL(R) la limite inductive
lim GL(R, n) par rapport aux inclusions canoniques
GL(R,n)—GL(R,n+l)
A ~ ( - )
Soit Ki(R) = GL(R)/E(R), ou E(R) est le groupe engendre par les matrices
elementaires. Si a et 6 sont deux bases d'un i?-module libre de type fini qui
ont le meme cardinal et A est la matrice de GL(R, n) de changement de base,
[a,b] denote la projection de A dans K\(R). Dans le cas ou R est un corps,
K\(R) = R* et [a,b] est le determinant de A.
Quand R est un anneau tel que
Rn
=
Rm
implique n = m (i.e. toutes les bases
ont le meme cardinal), Milnor prouve qu'on peut definir la torsion d'un complexe
de i2-modules libres de type fini lorsque son homologie est libre, generalisant ainsi
le cas ou R est un corps. Cette torsion est alors un element de K\(R)/± 1. Tous
les resultats enonces dans cette section sont valables pour cette generalisation de
la torsion (voir [Mil]).
0.2. Torsion de Reidemeister associee a une representation
II est evident que les notions suivantes peuvent etre placees dans un contexte
plus general [Mil], mais dans ce travail on ne s'interessera qu'aux representations
dans 5L2(C) ou PSL2(C) = SL2(C)/{±1}.
Previous Page Next Page