TORSION DE REIDEMEISTER
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Convention sur les points base. Etant donne un espace topologique X, son
groupe fondamental sera note IIi (X) sans preciser le point base choisi. Si X X
est le revetement universel de X, on va identifier IIi(X) avec le groupe des trans-
formations de ce revetement, sans preciser non plus le point base de X choisi.
Cette ambigui'te ne posera pas de probleme, car les constructions qu'on fera sont
invariantes par Taction de IIi(X) sur lui-meme par conjugaison. Puisqu'on tra-
vaille avec des representations, il suffira de montrer que les constructions sont
invariantes par conjugaison de la representation.
De plus, si / : X Y est une application continue entre deux espaces
topologiques, alors le morphisme induit / : Hi(X) IIi(Y) n'est defini qu'apres
le choix d'un chemin reliant f(xo) a|/o, ou xo et y$ sont les points base respec-
tifs. Lorsqu'on ecrira /*, on supposera le choix de ce chemin deja fait, sans le
preciser. Finalement, chaque fois qu'on prendra un releve de / aux revetements
universels / : X Y on supposera qu'il a ete choisi compatible avec /*. C'est-
a-dire, /( 7 x) /*(7) /(#), pour tout x G l e t tout 7 G IIi(X).
Soient X un espace topologique, Y un sous-espace de X et p : H\{X) G
une representation, ou G est le groupe de Lie SL2(C) ou PSL2(C). Dans les
deux cas, Ui(X) agit sur I'algebre de Lie de G, 5/2(C), a gauche et a droite via
la representation adjointe.
IIip O x 5/2(C) —sl2(C) sl2(C) x IIi(X)—sl2(C)
(g,m) 1—Adpig)(m) (m,g) 1— Adp(g-i)(m)
Soient K un CW-complexe fini dont l'espace topologique sous-jacent est \K\
X et L un sous-complexe de K tel que \L\ =Y. Si K est le revetement universel
de K, L C K est le releve de L. Le complexe de chaines sur les cellules de
K \L a coefficients entiers, C*(K,L;Z) est un Z[IIi(X)]-module a gauche via
Taction de Ui(X) sur K comme groupe du revetement. On prend le complexe
et le cocomplexe de C-espaces vectoriels suivants:
C*(K,L;Adp) = sl2(C)®Ul(x)C*(K,L;Z)
C*(K,L;Adp)=RomUl{x)(C4K,L;Z),sl2(C))
On prend les bords et cobords respectivement induits par les bords naturels du
complexe cellulaire C*(K, L;Z). II est bien connu que Thomologie du complexe
G* (K, L; Adp) est H* (X, Y; Adp) et la cohomologie du cocomplexe G* (K, L; Adp)
est H*(X, Y; Adp). Si p et p' sont deux representations conjuguees, alors il existe
un isomorphisme entre les complexes C*(K, L; Adp) et C*(K, L; Adp') qui induit
un isomorphisme en homologie, ainsi qu'un isomorphisme entre les cocomplexes
respectifs induisant un isomorphisme en cohomologie. Dans la definition on peut
remplacer C*(K;Z) par C*(K;C) et le resultat est le meme.
Soit {e\,... ,elr.} Tensemble des cellules de dimension i de K \ L. Alors
c1 = {e\,... ,e*.} est une Z[IIi(X)]-base de d(K,L;Z), ou e* est un releve
dans K de e*. Si A = {ai, a2,0,3} est une C-base de 5/2(C), alors
c1
est une
C-base de Ci(K, L; Adp).
DEFINITION
0.4. Avec les notations ci-dessus, on apellera c1 une base
geometrique de d(K;Adp).
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