10 JOAN PORTI
DEFINITION
0.5. Soient K un CW-complexe fini de dimension n, L un sous-
complexe de K, p : IIi(|if|) —• PSL2(C) une representation, et hl une C-base
de Hi(K, L; Adp) pour i = 0,... , n. Supposons que la caracteristique d'Euler de
K\L est zero. On appelle torsion de Reidemeister du triplet ((K, L),Adp, {hl\i =
0,... , n}) la torsion du complexe C*(K,L;Adp) dans n'importe quelle base
geometrique
{A®c1}.
tor((if, L);Adp, {h1}) = tor(?,(#, L; Adp), {A ® c2}, {/**}) G C*/{=bl}
a) Pour voir que cette torsion est bien definie il faut verifier deux choses:
qu'elle ne depend pas des choix possibles des differents releves ej et de la C-base
de 5/2 (C) et qu'elle ne depend pas non plus de la classe de conjugaison de p (voir
la convention sur les points base ci-dessus).
al) L'independance de la base de 5/2(C) vient de la proposition 0.2 et du
fait que la caracteristique d'Euler est zero. Si cette caracteristique est
non nulle il faut normaliser la base de 5/2 (C), par exemple la rendre
orthonormale par rapport a la forme de Killing.
D'apres la proposition 0.2, le choix des differents releves d'une meme
cellule n'affecte pas la torsion car les bases geometriques obtenues sont
reliees par une matrice de determinant 1. Plus precisement, si e* et e*
sont deux releves d'une meme cellule alors il y existe 7 G IIi(X) tel que
Cj = je'j et Taction adjointe de 7 sur s/2(C) est a determinant 1, car elle
est unimodulaire (voir la section 0.3).
a2) Si p et p' sont conjuguees, elles definisent la meme torsion. En effet s'il
existe un g G PSL2(C) tel que p'{^) =
gpirfg'1
V7 G IIi(X), alors la re-
lation Adpi^-iAdg = AdgAdp^-i permet de construire l'isomorphisme
de complexes suivant:
4g : sl2 (C) 8p C* (K, Z; Z) sl2 (C) gy C* (K, L; Z)
m(g)pc 1— Adg (m) gy c
C'est un isomorphisme, car son inverse s'obtient en remplagant g par
g~x.
Les torsions sont les memes parce que cet isomorphisme envoie une
base geometrique sur une autre base geometrique.
b) La torsion de Reidemeister est invariante par subdivision [Mil] mais, a
difference de la torsion de Whithead, elle n'est pas invariante du type d'homo-
topie simple ni du type d'homeomorphie de la CW-paire [Mi4].
0.3. Proprietes de Phomologie a coefficients
tordus par la representation adjointe
Dans ce paragraphe on rappelle les proprietes des espaces vectoriels
H*(X, Y; Adp) et H*(X, Y\ Adp) dont nous aurons besoin.
Forme de Killing de sl2(C). Puisque sl2(C) est l'algebre de Lie du groupe
complexe SL2(C) (ou P5L
2
(C)), la forme de Killing B : s/2(C) x sl2(C) -+ C
Previous Page Next Page