TORSION DE REIDEMEISTER 11
est C-bilineaire, symmetrique et invariante par Paction adjointe de SZ/2(C) (ou
PSL2(C)). De plus B est non degeneree parce que 5/2(C) est semi-simple. Cela
permet de representer Paction adjointe d'un element de SL2(C) (ou PSL2(C))
sur 5/2 (C) par une matrice de 0(3, C) = {a G GL(3, C)|a-a* = Id}. Done Paction
adjointe de SL2(C) (ou P5Z/2(C)) sur s/2(C) est unimodulaire (a determinant
±1). Avec le lemme 0.8 on voit plus precisement que cette action est a determi-
nant +1.
Lorsqu'on identifie Palgebre 5/2 (C) avec les matrices de trace zero on a la
formule explicite pour B:
Produit de Kronecker. Soit (K, L) un CW-couple fini. II y a un produit
de Kronecker associe a la forme de Killing B
, : Cl(K, L; Adp) x d(K, L; Adp) —• C
telquesitf e Homni(x)(Ci(X, L; Z), s/2(C)), a G sl2(C) et c e d(K,L;Z), alors
0,a® c = B(a,0(c)). II induit naturellement un produit en homologie et
cohomologie a coefficients tordus
, : Hi(K,L;Adp) x IP(K,L\Adp) C
qui n'est pas degenere, a cause de la non degenerescence de B. On en deduit une
dualite entre Phomologie et la cohomologie a coefficients tordus.
Produit cup. Si X est une n-variete compacte, la forme de Killing B induit
un produit cup.
U : Hp(X;Adp) x Hq(X,dX;Adp) Hp+q(X,dX;C)
Pour dennir ce produit on considere U le produit cup habituel sur les cochaines
des revetements universels:
U :
Cp(X;Adp)
x
Cq(Xy8X;
Adp) -
Cp+q(X,dX;
sl2(C) 8 sl2(C))
ou sl2(C) 8 ) 5/2(C) est muni de la structure diagonale comme Z[IIi(X)]-module.
Comme la forme de Killing est C-bilineaire, on peut la considerer comme un
morphisme d'espaces vectoriels B : 5/2(C) 05/2(C) C et on obtient un produit:
U' : CP(X-, Adp) x Cq(X,dX;Adp) - Cp+q(X,dX;C)
ou (0P 1/ 0q)(c) = B ((0pU0q)) (c), pour 0P e Cp(X;Adp), 0q e Cq(X,dX;Adp)
et ceCp+q(X,dX;Z).
De plus 0P U' 0q est invariant par Paction de IIi(X) parce que la forme de
Killing B est invariante par Paction adjointe, d'ou l/ se factorise en:
U :
Cp(X;Adp)
x
Cq(X,dX;
Adp)
Cp+q(X,dX;C)
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