TORSION DE REIDEMEISTER
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Derivations. L'espace vectoriel des derivations s'utilise frequemment pour
calculer H1{U1{X)-Adp).
Der(ni(X), Adp) ={d : UX(X) -• s/2(C)| d(fiX) = d(p) + Adp(M)d(A)
V/i,Aen!(x) }
lnn(U1(X)1Adp) ={d : U^X) -+ sl2(C)\ 3a e sl2(C) tel que
d(\) = (AdpW-l)a, VAeni(X) }
L'isomorphismeH^n^X); Adp) ^ Der(ni(X), Adp)/Inn(ni(X), Adp) [HS] est
bien connu. On va decrire un morphisme entre Der(IIi(X), Adp) et
Cl{K',
Adp)
qui induit un isomorphisme en cohomologie.
Soit B = {xo,... , £
r
} une Z[IIi(X)]-base de Co(K; Z) formee de O-simplexes.
Alors tout element de
CQ(K;Z)
s'ecrit J2
wXi^i
de fagon unique, avec wXi
Xi£B
Z[IIi(X)]. On prend la trace dans la base B
eB:C0(K;Z) —+Z[IIi(X)]
J2 wx.Xi\—• J2 wxi
XieB XieB
Le morphisme qu'on cherche est alors donne par:
& :Der(ni(X), Adp)—• C\K;Adp)
d ^^^d):d{K;Z)-^ sl2{C)
c *-*d(ejB(dc))
LEMME 0.6. Le morphisme £g induit un isomorphisme en cohomologie inde-
pendent de la base B. Plus precisement ^application induite
Der(ni(X), Adp)/lnn(IIipO, Adp) -
Zl(K; Adp)/B1
(K; Adp)
est un isomorphisme qui ne depend pas de la base B choisie pour Co(K;Z).
Preuve. Soient e : Z[IIi(X)] Z le morphisme d'augmentation et W = ker(e)
l'ideal d'augmentation. Puisque toute derivation induit un homomorphisme de
Z[IIi(X)]-modules de W dans 5/2(C), on peut remplacer
Der(IIi(X), Adp) /lnn(IIi(X), Adp)
par
Homz[n1(x)](W,^2(C))/rHomz[n1(x)](Z[ni(X)],S/2(C))
ou i : W °- Z[IIi(X)] est l'inclusion [HS]. On a alors un diagramme commutatif
dont les lignes horizontales sont exactes
0 W —— Z p i p Q ] ^—* Z 0
\crB
\SB
C2(K;Z) —— d(K;Z) —?— C0(K;Z) Z 0
II existe un unique morphisme as de Z[ni(X)]-modules de C\{K\Z) vers W qui
est nul sur Z\ (K; Z) et qui rend le diagramme commutatif parce que i : W
Z[IIi(X)] est injectif. En lui appliquant le foncteur
HomZ[ni(x)](—^^(C))
on
obtient £#. On verifie que ££ est un isomorphisme en construisant un invers
homotopique a as au niveau des complexes.
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