14 JOAN PORTI
Sous-espaces invariants de 5/2 (C). Puisque Taction adjointe de 5L2(C)
sur 5/2 (C) factorise a PSZ/2(C), on ne donnera les enonces que pour ce dernier
groupe. Soient 7 un element de PSL2(C) et F un sous-groupe de P5Z/2(C).
On utilise la notation
s/2(C)7
= {a e ^^(C) | Ad1{a) = i4d7_i(a) = a} et
s
/
2
(C)
r
= p|
s/2(C)7.
II faut remarquer que
s/2(C)r
^ #°(IZ
2
(C)) [HS].
LEMME 0.7. (i) s/2(C)7 ^ C, V7 G PSL2(C) \ {±Id}.
(ii) 5^7
e^7r
PSL2(C) ne commutent pas, alors
sl2(C)7 Dsl2(C)7
= {0}.
(iii) Powr £o^£ T PSZ/2(C) sous-groupe abelien non trivial different de
Z/2Z0Z/2Z ,
5
/
2
( C ) r ^ C .
Demonstration, (i) et (ii) Si 7 est parabolique, a conjugaison pres 7 = ± ( J
et la solution de l'equation Ad1a = a est a (
0
n ) # G C De plus l'egalite
Adya = a implique que 7' = ± ( * ^ j , qui commute avec 7.
Si 7 est elliptique ou hyperbolique, a conjugaison pres, 7 = ± ( ^
x
) avec
a G C \ {0,1, —1}. La solution de Ad1a = a est alors a = ( * ^ J , x G C. De
plus l'egalite Adya a implique 7' = ± ( ^ ^_i J, qui commute avec 7.
(iii) Par un simple raisonnement sur les points fixes de Y dans 5 ^ = dM3 il
n'y a que trois possibilites pour T [Thl]:
- Tous les elements de T sauf l'identite sont paraboliques et ils ont le meme point
fixe dans 5 ^ . A conjugaison pres on peut supposer que ce point est 00, et alors
Tc{±(10'1)\xec} et sl2(Cf = {(H)\xec]
- Tous les elements de de T sauf l'identite sont elliptiques ou hyperboliques et
ont les memes points fixes dans 5 ^ . A conjugaison pres, on peut supposer que
ces points sont 0 et 00. Alors
r c H S x - O ' * 6 0 * } et ^(C)r = { ( ^ ) | * e c }
- Si T n'a pas de points fixes sur 5 ^ , alors T ^ Z/2Z 0 Z/2Z.
Remarque. La preuve du lemme 0.7 et la formule explicite de la forme de
Killing B montrent que B restreinte a
s/2(C)7
est nulle si et seulement si 7 est
parabolique. La meme methode s'applique pour donner le resultat suivant.
LEMME
0.8. Soit 7 e PSL2{C).
(i) Si ±A et
dzA-1
sont les valeurs propres de 7 alors
A2, A~~2
et 1 sont les
valeurs propres de faction de Ad1 sur 5/2 (C).
(ii) Ad1 G Endc(s/2(C)) est diagonalisable si et seulement si 7 n'est pas
parabolique.
(iii) Soit T P5Z/2(C) un sous-groupe abelien different de Z/2Z0Z/2Z. Les
sous-espaces de sl2 (C) invariants par Vaction de Ad1 sont les memes
pour tous les 7 G V \ {±Id}.
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