CHAPITRE 1 Introduction et plan de Particle La determination de la nature arithmetique des valeurs aux entiers impairs s 3 de la fonction zeta de Riemann CO -j fc = l est un des problemes parmi les plus difficiles de la theorie des nombres. Pour demontrer les quelques resultats connus (voir les paragraphes 2.1, 2.2 et 2.3), la seule methode d'attaque disponible consiste a construire, grace a divers procedes hy- pergeometriques, des suites de combinaisons lineaires (Sn)n o en les valeurs de zeta aux entiers I G {2,..., M} et dont les coefficients sont des rationnels, eventuellement nuls : M Sn =PO,n + ^PZ,nC(0- 1=2 Pour appliquer les criteres d'irrationalite ou d'independance lineaire, tel le critere de Nesterenko [30], il est necessaire de determiner un denominateur commun aux pi}U qui soit le plus petit possible. Typiquement, ce denominateur est la puissance M-ieme du plus petit commun multiple des entiers 1,2, ...,n , que nous notons dn comme de coutume. Or, dans certaines circonstances (liees a la nature hy- pergeometrique tres speciale des constructions proposees et resumees par les Conjec- tures 1, 2 et 3 au paragraphe 2.3), on constate numeriquement que ce denominateur semble etre dn _ 1 , voire mieux, ce qui permet d'ameliorer significativement certains resultats diophantiens sur les valeurs de zeta. Nous prouvons ici toutes ces conjectures (a un facteur 2 pres), ce qui consti- tue nos Theoremes 1, 2 et 3 au chapitre 3. De plus, les Theoremes 4, 5 et 6 dans le meme chapitre contiennent meme des ameliorations dans des cas speciaux. Les demonstrations de ces theoremes, donnees aux chapitres 12 a 15, sont basees sur deux identites hypergeometriques « gigantesques » (une due a Andrews [3], l'autre etant une variante), donnees au chapitre 6, et en fait surtout sur quelques unes de leurs specialisations, enoncees et demontrees aux chapitres 9 et 10. Avant cela, nous donnons au chapitre 8 quelques identites particulierement elegantes qui se deduisent de ces identites gigantesques et qui concernent les coefficients « dominants » pM,n des combinaisons lineaires les plus simples que Ton puisse construire. En fait, les identites enoncees a la Proposition 2 ont ete le point de depart de ce travail, comme explique au chapitre 7, ou nous indiquons comment nous est venue l'idee de leur im- probable existence et comment elles nous ont mene a comprendre l'importance des identites fondamentales du chapitre 6 (et qu'elles etaient essentiellement connues depuis trente ans). Tous les calculs hypergeometriques des chapitres 6, 7, 8, 15 et 16 ont ete faits a l'aide du programme HYP, developpe sous Mathematica par le l
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