CHAPITRE 1
Introduction et plan de Particle
La determination de la nature arithmetique des valeurs aux entiers impairs
s 3 de la fonction zeta de Riemann
CO -j
fc = l
est un des problemes parmi les plus difficiles de la theorie des nombres. Pour
demontrer les quelques resultats connus (voir les paragraphes 2.1, 2.2 et 2.3), la
seule methode d'attaque disponible consiste a construire, grace a divers procedes hy-
pergeometriques, des suites de combinaisons lineaires (Sn)n o en les valeurs de zeta
aux entiers I G {2,..., M} et dont les coefficients sont des rationnels, eventuellement
nuls :
M
Sn =PO,n + ^PZ,nC(0-
1=2
Pour appliquer les criteres d'irrationalite ou d'independance lineaire, tel le critere
de Nesterenko [30], il est necessaire de determiner un denominateur commun aux
pi}U qui soit le plus petit possible. Typiquement, ce denominateur est la puissance
M-ieme du plus petit commun multiple des entiers 1,2, ...,n , que nous notons
dn comme de coutume. Or, dans certaines circonstances (liees a la nature hy-
pergeometrique tres speciale des constructions proposees et resumees par les Conjec-
tures 1, 2 et 3 au paragraphe 2.3), on constate numeriquement que ce denominateur
semble etre dn _ 1 , voire mieux, ce qui permet d'ameliorer significativement certains
resultats diophantiens sur les valeurs de zeta.
Nous prouvons ici toutes ces conjectures (a un facteur 2 pres), ce qui consti-
tue nos Theoremes 1, 2 et 3 au chapitre 3. De plus, les Theoremes 4, 5 et 6 dans
le meme chapitre contiennent meme des ameliorations dans des cas speciaux. Les
demonstrations de ces theoremes, donnees aux chapitres 12 a 15, sont basees sur
deux identites hypergeometriques « gigantesques » (une due a Andrews [3], l'autre
etant une variante), donnees au chapitre 6, et en fait surtout sur quelques unes de
leurs specialisations, enoncees et demontrees aux chapitres 9 et 10. Avant cela, nous
donnons au chapitre 8 quelques identites particulierement elegantes qui se deduisent
de ces identites gigantesques et qui concernent les coefficients « dominants » pM,n
des combinaisons lineaires les plus simples que Ton puisse construire. En fait, les
identites enoncees a la Proposition 2 ont ete le point de depart de ce travail, comme
explique au chapitre 7, ou nous indiquons comment nous est venue l'idee de leur im-
probable existence et comment elles nous ont mene a comprendre l'importance des
identites fondamentales du chapitre 6 (et qu'elles etaient essentiellement connues
depuis trente ans). Tous les calculs hypergeometriques des chapitres 6, 7, 8, 15 et
16 ont ete faits a l'aide du programme HYP, developpe sous Mathematica par le
l
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