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1. INTRODUCTION ET PLAN DE L'ARTICLE
premier auteur [25] *. Pour aider le lecteur de comprendre nos demonstrations, nous
avons insere le chapitre 5, ou nous expliquons a grands traits l'idee et la structure
des demonstrations de nos theoremes principaux.
Les consequences diophantiennes de notre travail sur les valeurs de zeta aux
entiers impairs sont formulees au chapitre 4. Notons aussi que la preuve, qui nous
echappe encore, des versions les plus generales de ces conjectures (voir le para-
graphe 17.1) pourrait impliquer l'irrationalite2 de £(4) = 7r4/90, et surtout celle
d'au moins un des trois nombres C(5), C(?) e^ C(9), bien que nous n'ayons aucune
certitude a ce sujet.
Pour souligner davantage le don d'ubiquite des objets hypergeometriques dont
nous nous servons, nous ajoutons le chapitre 16, ou nous montrons que l'equiva-
lence de la serie de Beukers, Gutnik et Nesterenko (2.1) et de la serie de Ball (2.5),
et celle des series (2.2) et (2.8) sont des consequences directes de la transforma-
tion de Whipple sous sa version non terminee due a Bailey (une remarque qui n'a
apparemment pas ete faite auparavant sous cette forme).
Nous terminons notre article en evoquant au chapitre 17 certaines directions de
recherche que nous poursuivrons dans l'avenir. Notamment, nous discutons au pa-
ragraphe 17.1 des series plus generales de Zudilin et les raisons pour lesquelles nous
pensons que nos methodes devraient permettre d'attaquer les conjectures associees
a ces series. Aux paragraphes 17.2 et 17.3, nous mentionnons brievement quelques
conjectures portant sur des combinaisons lineaires en les valeurs de la fonction
beta et en les valeurs de g-zeta, respectivement, et leurs consequences possibles.
Finalement, au paragraphe 17.4, nous evoquons l'interet de l'extension eventuelle
de nos identites au cas de series infinies.
Le programme HYP [25] permet de faire aisement, et sans faute, des calculs routiniers avec
les series hypergeometriques. Cependant, tous ces calculs peuvent aussi etre faits sans probleme a
la main, sauf que cela impliquerait peut-etre plusieurs heures du travail.
certes bien connue, mais uniquement grace au racourci lie a la transcendance de n et pas a
la Apery. On obtiendrait ainsi la meilleure mesure d'irrationalite connue de n4 (voir [55]). Pour
les meilleures mesures d'irrationalite connues pour 7r, respectivement £(2) et C(3), voir Hata [22],
respectivement Rhin et Viola [37, 38] : dans les trois cas, les methodes utilisees sont de nature
hypergeomet rique.
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