CHAPITRE 2
Arriere plan
2.1. Le Theoreme d'Apery
La preuve de l'irrationalite de C(3), due a Apery [6], ne date que de 1978. Sa
demonstration, qui fonctionne aussi pour £(2) = 7r2/6, peut etre synthetisee ainsi1 :
il existe deux suites (an)n o et (frn)no telles que an G Z, d?nbn G Z et
lim 12^(3)-6
n
|
1
/
n
= (v
/
2-l)
4
,
ou dn est le p.p.cm des entiers 1, 2,... , n. On conclut en remarquant que, en vertu
du theoreme des nombres premiers, dn en+°(n) et que e3(v/2 l) 4 1. II existe
de nombreuses fagons de produire ces suites, par exemple au moyen de la serie
suivante, due a Beukers, Gutnik et Nesterenko [10], [20], [31] :
-|l(w)-**«»-*•• (2.1)
ou les symboles de Pochhammer sont dermis par (a)k = a( a + l)---( a + fc 1)
si k 1 et (a)0 = 1. Ici et dans tout cet article, n designe un entier positif, sauf
mention contraire.
De meme, dans le cas de C(2), on construit deux suites (an)no
e
t (Pn)no
telles que an G Z, d^/3n G Z et
5 - l
x 5
lim
|a„C(2)-/?„|1/"=f• -V
La aussi, il existe beaucoup de fagons de generer ces suites, par exemple au moyen
de la serie
(k ri)r
i-l)nn\J2
a„C(2) - f3n.
(2.2)
fc=l ^ ) + !
Les entiers an et a
n
peuvent etre explicates sous forme binomiale ou hypergeome-
trique :
-n, —n,n+ l,n+ 1
E "
J= 0
2 / . .\ 2
et
^ = 53
3=0
n + j
n
4^3
= zF\
3^2
1, 1, 1
—n, —n, n-f 1
; i
i, 1
(2.3)
(2.4)
Voir le survol de Fischler [16] pour un expose, apparemment exhaustif, des tres nombreuses
preuves maintenant disponibles de l'irrationalite de C(3)-
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