CHAPITRE 2 Arriere plan 2.1. Le Theoreme d'Apery La preuve de l'irrationalite de C(3), due a Apery [6], ne date que de 1978. Sa demonstration, qui fonctionne aussi pour £(2) = 7r2/6, peut etre synthetisee ainsi1 : il existe deux suites (an)n o et (frn)no telles que an G Z, d?nbn G Z et lim 12^(3)-6 n | 1 / n = (v / 2-l) 4 , ou dn est le p.p.cm des entiers 1, 2,... , n. On conclut en remarquant que, en vertu du theoreme des nombres premiers, dn en+°(n) et que e3(v/2 l) 4 1. II existe de nombreuses fagons de produire ces suites, par exemple au moyen de la serie suivante, due a Beukers, Gutnik et Nesterenko [10], [20], [31] : -|l(w)-**«»-*•• (2.1) ou les symboles de Pochhammer sont dermis par (a)k = a( a + l)---( a + fc 1) si k 1 et (a)0 = 1. Ici et dans tout cet article, n designe un entier positif, sauf mention contraire. De meme, dans le cas de C(2), on construit deux suites (an)no e t (Pn)no telles que an G Z, d^/3n G Z et V 5 - l x 5 lim |a„C(2)-/?„|1/"=f- La aussi, il existe beaucoup de fagons de generer ces suites, par exemple au moyen de la serie (k ri)r i-l)nn\J2 a„C(2) - f3n. (2.2) fc=l ^ ) + ! Les entiers an et a n peuvent etre explicates sous forme binomiale ou hypergeome- trique : -n, —n,n+ l,n+ 1 E " J= 0 2 / . .\ 2 et ^ = 53 3=0 n + j n 4^3 = zF\ 3^2 1, 1, 1 —n, —n, n-f 1 i i, 1 (2.3) (2.4) Voir le survol de Fischler [16] pour un expose, apparemment exhaustif, des tres nombreuses preuves maintenant disponibles de l'irrationalite de C(3)- 3
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