4 2. ARRIER E PLAN
D'une fagon generale, les series (ou fonctions) hypergeometriques sont definies par
q+lFq
a
0
, a i , . . -,otq
E
°° (Q!o)fc(ai)fc---(Qq)fe k
k\(0i)k--(l3q)k '
fc=0
ou Qj G C et /?j G C \ ZO- La serie converge pour tout z G C tel que |z| 1, et
aussi pour 2 = ±1 lorsque Re(/?i + + Pq) Re(ao -f OL\ + + aq). Dans les
ouvrages traitant de ces fonctions (par exemple [5], [7], [18], [44]), on trouve les
definitions suivantes : la serie hypergeometrique
q
+iFq est dite
- balancee (balanced) si ao + + aq + 1 = Pi + + (3q ;
- quasi equilibree de premiere espece (nearly-poised of the first kind) si
OL\ + Pi = ' ' ' = OLq + Pq ;
- bien equilibree (well-poised) si ao -h 1 = a\ + Pi = = aq + Pq ;
- £res 6ien equilibree (very-well-poised) si elle est bien equilibree et, de plus,
ai = \ a0 + 1.
Ces series verifient d'innombrables identites recensees dans les livres cites ci-dessus2.
Les series (tres) bien equilibrees y sont abondamment representees, a la mesure de
leur enorme influence sur le developpement de la theorie hypergeometrique au cours
du XXieme siecle (voir le survol d'Andrews [4] et le livre [5] d'Andrews, Askey et
Roy a ce sujet). Le present article n'echappe pas a cette influence.
Dans [31], Nesterenko a pose le probleme de trouver une preuve de l'irrationalite
de £(3) aussi elementaire que celle du nombre e = Y2no
Vn-5 °^ue
^ Fourier. Pour
attaquer ce probleme, Ball a introduit la serie hypergeometrique tres bien equilibree
suivante (voir l'introduction de [39]) :
R
_ V^ (h , n\(k- n)n(k + n + l)
n B
n
-n^.2
. 2^(*+
2
j
{k)Ui
fe=i
n !
7
( 3 n + 2)! TQn ^ _L o 3
7^6
2(2n + l)!5
3 + 2, f n + 2, n + 1,..., n + 1
§'n + l,2n + 2,...,2n + 2 ;
(2.5)
2
II a alors observe le fait remarquable que B
n
= an£(3) b
n
, alors que l'on s'attend
aussi a voir apparaitre C(4) et C(2)- En definissant le m-ieme nombre harmonique
par Hm = J2T=i ^ si m 1 et iJo = 0, on a en particulier
-(-^'EG-i)C")4(B:0C"."0
f 5Hn-j - 5Hj + Hn+j - H2n-j - n _ J
(2-6)
et on montre que d
n
a
n
et d^b
n
sont entiers. Un deuxieme point remarquable de
cette serie reside dans la propriete, initialement conjecturale, que a
n
et d^b
n
sont
en fait des entiers, et an et b
n
co'mcident avec les nombres d'Apery an et bn/2 pour
C(3). L'egalite de la serie (2.5) et de la moitie de la serie (2.1) a ensuite ete prouvee
par Zudilin [54] et le deuxieme auteur independamment, alors que l'egalite an = an
a ete prouvee par le premier auteur, dans les deux cas par une utilisation subtile
Le manuel du logiciel HYP, deja mentionne a la note 1 de bas de page, contient la plus
grande liste d'identites hypergeometriques actuellement disponible.
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