2.2. L'INDEPENDANCE LINEAIRE D'UNE INFINITE DE C 5
de 1'algorithme de calcul de recurrences lineaires de Gosper-Zeilberger (voir [13],
[35], [51], [52]), ce qui implique l'egalite b
n
bn/2. Voir le chapitre 16 pour une
demonstration independante, utilisant des identites hypergeometriques classiques.
Au passage, on obtient bien une nouvelle demonstration de l'irrationalite de £(3) :
bien qu'elementaire, elle n'est cependant pas aussi simple que celle de e.
2.2. L'independance lineaire d'une infinite de ( impairs et la
transcendance de ir
La disparition de la moitie des valeurs de £ attendues n'est pas un miracle
isole : elle s'explique par la nature (tres) bien equilibree de B
n
, alors qu'une serie
seulement quasi equilibree ne la produit pas. Ce precieux phenomene a ete generalise
dans [39] et [8] au moyen,
essentiellement3,
de la serie
oo
Sn,A,r(z)=n\A-2r^2(k+^)
n^ (k - rn)rn(k + n + l )
r n
_k
W -z
-rn~ln\
k=l W n + 1
1
^
t A
.
2 r
(rn)!^ 1 ((2 r + l)n + 2)!
2((r + l)n+l)!
A
+
1
(2r + l)n + 2, ^±±n + 2, rn + 1,..., rn + 1. v_±
X A+3^4+ 2
^ - n + 1, (r + l)rc + 2,... , (r + l)n + 2
avec |z| 1 et A et r des entiers tels que 0 r A/2, ce qui a permis de
montrer qu'une infinite des valeurs de la fonction zeta aux entiers impairs sont
lineairement independantes sur Q. Esquissons rapidement la preuve. On definit
d'abord les fonctions polylogarithmes, pour tout s 1 et z complexe verifiant
\z\ 1 et (s,z) 7^ (1,1), par
En developpant en elements simples le sommande de Sn,A,r(z)i o n verifie qu'il existe
des polynomes p^
n
(X) (dependant aussi de A et r) tels que dn~ p^
n
(X) G Z[X]
et
A
SntA,r(z) = P 0 , n ( ^ ) + ^ ^ ' n ^ L i ^ 1 / ^ -
Le « tres bon equilibrage » de SnjA,r(z) s e traduit par la relation de reciprocite
znpltn(l/z)
=
(-l)A n+1 +l+1p,,„(*)
(2-7)
dont on deduit que pour tout A pair et tout n 0, on a4
SnA,r(l) - P0,n(l) + Y, P^n(l)C(0«
Z=3,...,A-1
/ impair
On conclut en utilisant un critere d'independance lineaire du a Nesterenko [30]
et en optimisant le parametre r en fonction de A. Comme pour B
n
, on constate
Plus precisement : sans le facteur « tres bien equilibrant » k + n/2, qui ne joue aucun role
pour obtenir le resultat vise, mais qui est la mysterieuse raison d'etre des identites prouvees dans
cet article.
Lorsque z tend vers 1, la serie SnjA,r(z) converge mais Lii(l/z) = log(l 1/z) diverge :
on a done necessairement pi,
n
(l ) = 0, ce qui elimine la valeur divergente £(l) de la combinaison
lineaire.
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