2.2. L'INDEPENDANCE LINEAIRE D'UNE INFINITE DE C 5 de 1'algorithme de calcul de recurrences lineaires de Gosper-Zeilberger (voir [13], [35], [51], [52]), ce qui implique l'egalite b n bn/2. Voir le chapitre 16 pour une demonstration independante, utilisant des identites hypergeometriques classiques. Au passage, on obtient bien une nouvelle demonstration de l'irrationalite de £(3) : bien qu'elementaire, elle n'est cependant pas aussi simple que celle de e. 2.2. L'independance lineaire d'une infinite de ( impairs et la transcendance de ir La disparition de la moitie des valeurs de £ attendues n'est pas un miracle isole : elle s'explique par la nature (tres) bien equilibree de B n , alors qu'une serie seulement quasi equilibree ne la produit pas. Ce precieux phenomene a ete generalise dans [39] et [8] au moyen, essentiellement3, de la serie oo Sn,A,r(z)=n\A-2r^2(k+^) n^ (k - rn)rn(k + n + l ) r n _k W -z -rn~ln\ k=l W n + 1 1 ^ t A . 2 r (rn)!^ 1 ((2 r + l)n + 2)! 2((r + l)n+l)! A + 1 (2r + l)n + 2, ^±±n + 2, rn + 1,..., rn + 1. v X A+3^4+ 2 ^ - n + 1, (r + l)rc + 2,... , (r + l)n + 2 avec |z| 1 et A et r des entiers tels que 0 r A/2, ce qui a permis de montrer qu'une infinite des valeurs de la fonction zeta aux entiers impairs sont lineairement independantes sur Q. Esquissons rapidement la preuve. On definit d'abord les fonctions polylogarithmes, pour tout s 1 et z complexe verifiant \z\ 1 et (s,z) 7^ (1,1), par En developpant en elements simples le sommande de Sn,A,r(z)i o n verifie qu'il existe des polynomes p^ n (X) (dependant aussi de A et r) tels que dn~ p^ n (X) G Z[X] et A SntA,r(z) = P 0 , n ( ^ ) + ^ ^ ' n ^ L i ^ 1 / ^ - Le « tres bon equilibrage » de SnjA,r(z) s e traduit par la relation de reciprocite znpltn(l/z) = (-l)A n+1 +l+1 p,,„(*) (2-7) dont on deduit que pour tout A pair et tout n 0, on a4 SnA,r(l) - P0,n(l) + Y, P^n(l)C(0« Z=3,...,A-1 / impair On conclut en utilisant un critere d'independance lineaire du a Nesterenko [30] et en optimisant le parametre r en fonction de A. Comme pour B n , on constate Plus precisement : sans le facteur « tres bien equilibrant » k + n/2, qui ne joue aucun role pour obtenir le resultat vise, mais qui est la mysterieuse raison d'etre des identites prouvees dans cet article. Lorsque z tend vers 1, la serie SnjA,r(z) converge mais Lii(l/z) = log(l 1/z) diverge : on a done necessairement pi, n (l ) = 0, ce qui elimine la valeur divergente £(l) de la combinaison lineaire.
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