6 2. ARRIERE PLAN experimentalement que le denominateur dn est trop genereux lorsque z 1 : il semble en effet que dn 1 p^ n (l) soit deja entier pour tout I G {0,..., A 1}. L'interet est que cela permettrait d'appliquer plus fmement le critere de Nesterenko (voir la partie ii) du Theoreme 7 au chapitre 4). Lorsque A est impair et z 1, la serie Sn?^4?r(—1) est une combinaison lineaire rationnelle en les valeurs de ( aux entiers pairs, ou, par definition, = Ei^L = (2l "s-1)c(s)- fc=i Puisque pour tout entier k 1, on a ou Bk est le /c-ieme nombre de Bernoulli, on obtient en fait une suite de combinaisons lineaires rationnelles de puissances de ix : la transcendance de 7r en decoule par un argument simple de theorie des nombres algebriques (voir [36] pour un cas analogue). Le meme phenomene arithmetique que celui mis a jour pour A pair et z = 1 semble la aussi se produire : si Ton considere par exemple la serie S n , 3 , l ( -1) = n! £ ( - l ) f c (fc + 5 ) ( f e " n ) ? £ + n + 1 ) n = PnC(2) " «n, (2.8) le rationnel B .-(-.r't(i-)G")'(B 0(a'„"0 4Hn_j - 4Hj + Hn+j - H2n-} - ^—j , (2.9) joue le meme role pour £(2) que an pour C(3)- En effet, on a a priori que dnpn et dngn sont entiers, mais on montre par les metnodes de [54] que pn = an et ^n —/3n/2, ou a n et (3n sont les nombres d'Apery pour £(2) definis au pa- ragraphe 2.1. Voir le chapitre 16 pour une demonstration utilisant des identites hypergeometriques classiques. 2.3. A la recherche d'un irrationnel parmi C(5) £(?)? etc. Cette recherche a ete initiee dans [41] au moyen d'un autre type de series, que nous appellerons improprement « series derivees », qui ne sont plus formellement hypergeometriques mais en sont tres proches5. Considerons, pour A pair 6 et \z\ 1, la serie k=l s^w . m-y: 14 (( k + 2) {t ~n)^r + 1) ").-. 5 De fagon plus precise, une serie derivee apparait naturellement par la methode de Pro- benius dans le calcul des solutions des equations difFerentielles hypergeometriques. L'equation differentielle satisfaite par une serie hypergeometrique (tres) bien equilibree est invariante par le changement de variable z t-+ 1/z, ce qui « explique » la reciprocity des polynomes Pifn(z)- Voir [33] pour une tres belle exposition du calcul des solutions des equations differentielles hy- pergeometriques.
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