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2. ARRIERE PLAN
experimentalement que le denominateur dn est trop genereux lorsque z 1 :
il semble en effet que dn
1
p^
n
(l) soit deja entier pour tout I G {0,..., A 1}.
L'interet est que cela permettrait d'appliquer plus fmement le critere de Nesterenko
(voir la partie ii) du Theoreme 7 au chapitre 4).
Lorsque A est impair et z 1, la serie Sn?^4?r(—1) est une combinaison lineaire
rationnelle en les valeurs de ( aux entiers pairs, ou, par definition,
=
Ei^L = (2l"s-1)c(s)-
fc=i
Puisque pour tout entier k 1, on a
ou Bk est le /c-ieme nombre de Bernoulli, on obtient en fait une suite de combinaisons
lineaires rationnelles de puissances de ix : la transcendance de 7r en decoule par
un argument simple de theorie des nombres algebriques (voir [36] pour un cas
analogue). Le meme phenomene arithmetique que celui mis a jour pour A pair et
z = 1 semble la aussi se produire : si Ton considere par exemple la serie
S
n
,
3
,
l (
-1) = n! £ ( - l )
f c
(fc + 5 )
( f e
"
n )
? £
+ n + 1 ) n
= PnC(2) " «n, (2.8)
le rationnel
B.-(-.r't(i-)G")'(B;0(a'„"0
4Hn_j - 4Hj + Hn+j - H2n-} - ^—j , (2.9)
joue le meme role pour £(2) que an pour C(3)- En effet, on a a priori que dnpn
et dngn sont entiers, mais on montre par les metnodes de [54] que pn = an et
^n —/3n/2, ou a
n
et (3n sont les nombres d'Apery pour £(2) definis au pa-
ragraphe 2.1. Voir le chapitre 16 pour une demonstration utilisant des identites
hypergeometriques classiques.
2.3. A la recherche d'un irrationnel parmi C(5) £(?)? etc.
Cette recherche a ete initiee dans [41] au moyen d'un autre type de series, que
nous appellerons improprement « series derivees », qui ne sont plus formellement
hypergeometriques mais en sont tres
proches5.
Considerons, pour A pair 6 et
\z\ 1, la serie
k=l
s^w . m-y: 14 ((k+ 2)
{t~n)^r + 1)").-.
5
De fagon plus precise, une serie derivee apparait naturellement par la methode de Pro-
benius dans le calcul des solutions des equations difFerentielles hypergeometriques. L'equation
differentielle satisfaite par une serie hypergeometrique (tres) bien equilibree est invariante par
le changement de variable z t-+ 1/z, ce qui « explique » la reciprocity des polynomes
Pifn(z)-
Voir [33] pour une tres belle exposition du calcul des solutions des equations differentielles hy-
pergeometriques.
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